排序算法与实现

冒泡排序

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，若是他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工做是重复地进行直到没有再须要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是由于越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运做以下：

• 比较相邻的元素。若是第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
• 对每一对相邻元素做一样的工做，从开始第一对到结尾的最后一对。这步作完后，最后的元素会是最大的数。
• 针对全部的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
• 持续每次对愈来愈少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字须要比较。

冒泡排序的分析

交换过程图示(第一次)：

那么咱们须要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数以下图所示：

def bubble_sort(alist): for j in range(len(alist)-1,0,-1): # j表示每次遍历须要比较的次数，是逐渐减少的 for i in range(j): if alist[i] > alist[i+1]: alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i] li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] bubble_sort(li) print(li) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何能够交换的元素，排序结束。）
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：稳定

冒泡排序的演示

效果：

 

选择排序

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工做原理以下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，而后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，而后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到全部元素均排序完毕。

选择排序的主要优势与数据移动有关。若是某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，所以对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在全部的彻底依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于很是好的一种。

选择排序分析

排序过程：

 红色表示当前最小值，黄色表示已排序序列，蓝色表示当前位置。

def selection_sort(alist): n = len(alist) # 须要进行n-1次选择操做 for i in range(n-1): # 记录最小位置 min_index = i # 从i+1位置到末尾选择出最小数据 for j in range(i+1, n): if alist[j] < alist[min_index]: min_index = j # 若是选择出的数据不在正确位置，进行交换 if min_index != i: alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i] alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20] selection_sort(alist) print(alist) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n2)
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的状况）

选择排序演示

 

插入排序

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工做原理是经过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程当中，须要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

插入排序分析

def insert_sort(alist): # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入 for i in range(1, len(alist)): # 从第i个元素开始向前比较，若是小于前一个元素，交换位置 for j in range(i, 0, -1): if alist[j] < alist[j-1]: alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j] alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] insert_sort(alist) print(alist) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：稳定

插入排序演示

 

快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），经过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的全部数据都比另一部分的全部数据都要小，而后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程能够递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
2. 从新排序数列，全部元素比基准值小的摆放在基准前面，全部元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数能够到任一边）。在这个分区结束以后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操做。
3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，可是这个算法总会结束，由于在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

快速排序的分析

def quick_sort(alist, start, end): """快速排序""" # 递归的退出条件 if start >= end: return # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素 mid = alist[start] # low为序列左边的由左向右移动的游标 low = start # high为序列右边的由右向左移动的游标 high = end while low < high: # 若是low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动 while low < high and alist[high] >= mid: high -= 1 # 将high指向的元素放到low的位置上 alist[low] = alist[high] # 若是low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动 while low < high and alist[low] < mid: low += 1 # 将low指向的元素放到high的位置上 alist[high] = alist[low] # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置 # 将基准元素放到该位置 alist[low] = mid # 对基准元素左边的子序列进行快速排序 quick_sort(alist, start, low-1) # 对基准元素右边的子序列进行快速排序 quick_sort(alist, low+1, end) alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] quick_sort(alist,0,len(alist)-1) print(alist) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：不稳定

从一开始快速排序平均须要花费O(n log n)时间的描述并不明显。可是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的状况，每次咱们运行一次分区，咱们会把一个数列分为两个几近相等的片断。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。所以，在到达大小为一的数列前，咱们只要做log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。可是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；所以，程序调用的每一层次结构总共所有仅须要O(n)的时间（每一个调用有某些共同的额外耗费，可是由于在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被概括在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。

快速排序演示

 

 

希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的必定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减小，每组包含的关键词愈来愈多，当增量减至1时，整个文件恰被分红一组，算法便终止。

希尔排序过程

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法自己仍是使用数组进行排序。

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，若是咱们以步长为5开始进行排序，咱们能够经过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

而后咱们对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一块儿时咱们获得：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，而后再以3为步长进行排序：

10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45

排序以后变为：

10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）

希尔排序的分析

def shell_sort(alist): n = len(alist) # 初始步长 gap = n / 2 while gap > 0: # 按步长进行插入排序 for i in range(gap, n): j = i # 插入排序 while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]: alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap] j -= gap # 获得新的步长 gap = gap / 2 alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] shell_sort(alist) print(alist) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：根据步长序列的不一样而不一样
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定想：不稳定

希尔排序演示

 

归并排序

归并排序是采用分治法的一个很是典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小以后，而后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就日后移一位。而后再比较，直至一个数组为空，最后把另外一个数组的剩余部分复制过来便可。

归并排序的分析

def merge_sort(alist): if len(alist) <= 1: return alist # 二分分解 num = len(alist)/2 left = merge_sort(alist[:num]) right = merge_sort(alist[num:]) # 合并 return merge(left,right) def merge(left, right): '''合并操做，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组''' #left与right的下标指针 l, r = 0, 0 result = [] while l<len(left) and r<len(right): if left[l] < right[r]: result.append(left[l]) l += 1 else: result.append(right[r]) r += 1 result += left[l:] result += right[r:] return result alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] sorted_alist = mergeSort(alist) print(sorted_alist) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(nlogn)
• 稳定性：稳定

 

常见排序算法效率比较

搜索

搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索一般的答案是真的或假的，由于该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找

二分法查找

二分查找又称折半查找，优势是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。所以，折半查找方法适用于不常常变更而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，若是二者相等，则查找成功；不然利用中间位置记录将表分红前、后两个子表，若是中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，不然进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到知足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

二分法查找实现

（非递归实现）

def binary_search(alist, item): first = 0 last = len(alist)-1 while first<=last: midpoint = (first + last)/2 if alist[midpoint] == item: return True elif item < alist[midpoint]: last = midpoint-1 else: first = midpoint+1 return False testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(binary_search(testlist, 3)) print(binary_search(testlist, 13)) 

（递归实现）

def binary_search(alist, item): if len(alist) == 0: return False else: midpoint = len(alist)//2 if alist[midpoint]==item: return True else: if item<alist[midpoint]: return binary_search(alist[:midpoint],item) else: return binary_search(alist[midpoint+1:],item) testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(binary_search(testlist, 3)) print(binary_search(testlist, 13)) 

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(1)
• 最坏时间复杂度：O(logn)