算法学习之二进制的妙用

有一个笑话，世界上有10种人，一种是看得懂二进制的，一种是看不懂的。 若是你看懂了这个笑话，这篇文章就是适合你读的了

Single Number

leetcode 上有一道这样的题，Single Number，题目是要你要找到数组中惟一只存在一个的数字，其余数字都出现两次。这道题目很是的简单，咱们能够用 hash 表来记录全部数字的次数，而后找到次数为1的那个数字。若是用二进制来解决这道题效率会快不少。

二进制的解法

二进制中有一个操做符叫作位异或，他的做用是两个位数字相同则为0，不一样则为1，即 1^1=0，0^0=0，1^0=1，0^1=1；

经过这个运算符的特色咱们能够知道，任何一个数对本身位异或操做，获得的结果都是 00000000，00000000对任意数字位异或获得的都是那个数字。而且 A ^ B ^ C = C ^ B ^A，这个操做符是知足交换律的。下面看一下 js 的简单解法：

/** * @param {number[]} nums * @return {number} */
var singleNumber = function(nums) {
    return nums.reduce((res, cur) => res ^ cur);
};

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毒药问题

有 8 个如出一辙的瓶子，其中有 7 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期以后死亡。如今，你只有 3 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪一个瓶子里有毒药？

解决思路

咱们用二进制给每瓶水进行编号，编号分别为，000,001,010,011,100,101,110,111,分别对应1-8的瓶子，而后让第一只老鼠喝第一位为1的，第二只老鼠喝第二位为1的，第三只老鼠喝第三位为1的，假设第四瓶水有毒，即011有毒

• 第一只老鼠喝了 100，101，110，111，结果：没死，记做0
• 第二只老鼠喝了 010，011，110，111，结果：死了，记做1
• 第三只老鼠喝了 001，011，101，111，结果：死了，记做1

根据死亡结果，恰好是第四瓶水011，这只是一个巧合吗，恐怕不是的，咱们能够用数学的思惟来证实一下这个问题

证实

每只老鼠喝了毒药只会出现两种状况死或者不死，一只老鼠能够验证两瓶药有没毒，即2^1,两只老鼠能够验证2^2瓶药，三只老鼠能够验证2^3瓶药，那么要怎么去验药呢

• 咱们让每只老鼠喝某一位为1的的全部药，若是那只老鼠死了则说明毒药的某一位编号为1，比方说第一只老鼠喝了全部第一位为1的毒药死了，则说明毒药的第一位编号为1，若是没死，则说明毒药的那一位编号为0
• 这里若是三只老鼠都没死，则说明毒药的三位编号都为0，恰好是三只老鼠都每没喝的第一瓶。

拓展问题

有 1000 个如出一辙的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期以后死亡。如今，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪一个瓶子里有毒药？

根据上面的问题，咱们可以知道 2 ^ 10 = 1024 > 1000,也是经过对每一个瓶子进行二进制编号便可检验出哪一个瓶子有毒。

问题升级

如今，有意思的问题来了：若是你有两个星期的时间，为了从 1000 个瓶子中找出毒药，你最少须要几只老鼠？注意，在第一轮实验中死掉的老鼠，就没法继续参与第二次实验了。

拓展问题思路

咱们要达到的目的是用尽量少的老鼠，在两周以内找到结果，因此咱们必需要进行两轮的实验，那么每只老鼠可能就会出现三种状况，第一轮死掉，第二轮死掉，第二轮活着，上面一题老鼠会出现两种状况用的是二进制，那么这一题很明显咱们须要用到三进制。3 ^ 6 = 729, 3 ^ 7 = 2187, 很明咱们至少是须要7只老鼠。

如何喂药

• 仍是和前面同样，第一轮的时候，咱们让每只老鼠喝某一位为编号为2的药，若是某只老鼠死了，则说明毒药的那一位编号为2，若是老鼠全死了，咱们连第二轮都不用了，直接能够肯定毒药的编号为2222222。
• 第二轮若是还剩多少只老鼠，则说明毒药有多少位的编号为0或者1，咱们剩k只老鼠，k位二进制数须要确认，由于那几位数已经排除了是2的可能性。则由回到了上一题，咱们继续用上一轮的喂法便可。

称重问题

27个小球。其中一个比其余小球都要重一点。给你一个天平，最多称3次，找出这个特殊的小球。

思路

这题也是须要用到三进制的思路来解决的，咱们每次称可能出现三种状态左边重，右边重，同样重，3 ^ 3 恰好27，因此咱们是能够在3次内找到这个小球。

如何称

先给每一个球编号000,001,002,010,...,222

• 第一次称第一位为2的和第一位为1的全部小球，他们一样都是9个，哪边重则说明，较重的小球的第1为几，若是同样重则说名第一位为0
• 第二次称第二位为2的和第二位为1的全部小球，他们也一样都是9个，哪边重则说明，较重的小球的第2位为几，若是同样重则说名第二位为0
• 第三次称第三位为2的和第三位为1的全部小球，他们也一样都是9个，哪边重则说明，较重的小球的第3位为几，若是同样重则说名第三位为0

通过三次称重咱们就能够找到较重的哪个小球了。

总结

面对这种问题，其实解决思路都大通小异，都是须要找到问题关键状态，经过关键状态的数量咱们能够知道须要用到多少进制来解决问题。而后根据题目制定方案，来肯定每一位的状态码最终获得结果。