有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则以下：html
1)先手不能在第一次把全部的石子取完，至少取1颗；spa
2)以后每次能够取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。htm
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。blog
结论：当n为Fibonacci数的时候，必败。游戏
f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
ci
用第二数学概括法证实：get
为了方便，咱们将n记为f[i]。数学
一、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。io
二、假设当i<=k时，结论成立。搜索
则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。
则咱们能够把这一堆石子当作两堆，简称k堆和k-1堆。
（必定能够当作两堆，由于假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手能够直接取完f[k]，由于f[k] < 2*f[k-1]）
对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面咱们分析一下后手最后取的石子数x的状况。
若是先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手能够直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。
咱们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，对两值做差后不可贵出，后者大。
因此咱们获得，x<1/2*f[k]。
即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，因此游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，因此后手必胜。
即i=k+1时，结论依然成立。
那么，当n不是Fibonacci数的时候，状况又是怎样的呢？
这里须要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数能够表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。
关于这个定理的证实，感兴趣的同窗能够在网上搜索相关资料，这里再也不详述。
分解的时候，要取尽可能大的Fibonacci数。
好比分解85：85在55和89之间，因而能够写成85=55+30，而后继续分解30,30在21和34之间，因此能够写成30=21+9，
依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。
则咱们能够把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）
咱们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。因为各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。
此时后手至关于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手必定能够取到这一堆的最后一颗石子。
同理可知，对于之后的每一堆，先手均可以取到这一堆的最后一颗石子，从而得到游戏的胜利。