[CSP初赛] 组合数学的三个技巧以及从另外一方面思考组合类问题

也不知道老师讲不讲
话说很久没有水博客了，看了一点\(python\)而后就去搞文化课了
正好网课讲到组合数学，而后以为还蛮难的（实际上是我变菜了），就想到了之前的\(csp\)的组合数学基础
果真被我找到了，插板法，插空法和捆绑法
就从数学做业里找例题吧

最后还有关于四我的选三个项目的状况数与三我的选四个项目的状况数这两种问题如何用进制解决
感受把博客写成参考书了呢

前置芝士

阶乘

\(n!=1*2*3*...*(n-1)*n\)

组合数

组合数的定义：从\(n\)个不一样元素中任取\(m\)个的全部组合的个数为\(C_{n}^{m}\)
\(C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)

排列数

排列数的定义：从\(n\)个元素中任取\(m\)个元素的全部排列的个数为\(A_{n}^{m}\)
\(A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}\)

能够发现组合数只强调选出的组合的数量，而排列还要求组合里的元素有序（小声\(bb\)和后文无关哈）

插板法

适用范围:\(n\)个相同物品分为不一样的\(m\)组

必须是相同物品！！！

问题

如今有四只如出一辙佳爱琉，有十一个如出一辙神探要解开佳爱琉的死亡谜题，神探之间能够合做，可是每只佳爱琉的谜题必须有至少一个神探解谜，求有多少种搭配的方法呢

插板法的名字起的很形象啊，咱们要作的就是插板求解这一问题
那怎么插板呢
首先咱们将十一个神探小朋友一字摆开

由于他们是如出一辙的，而佳爱琉也都是如出一辙的，因此咱们不妨认为，每一个佳爱琉的神探，都是左右相邻的
好比下面这样就是一种分组方案

怎么样，是否是很像在每组神探之间插入了一块板子
那咱们就能够把问题转化成插三块板子有多少种方案
这三个板子有十个位置可插，不妨把这十个位置叫成\(1,2,3...\)
那咱们就能够进一步把问题转化成，在这十个数字中任选三个
这个问题很好求解，答案就是\(C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120\)

基本模型

这类题目能够抽象出以下模型

把\(n\)个相同物品分红不一样的\(m\)组的方案数为\(C_{n-1}^{m-1}\)

插板法的变形

变形一与变形二

为何放到一块儿？？？
固然是由于太像了啊

有四只小狗，叫豆豆一号，豆豆二号……有十一个如出一辙的屁桃（一种桃子），如今要把屁桃分给豆豆们，有的豆豆可能分不到，请问有多少种分配方案

这个好像和模型不太同样，怎么办
那固然就是把它变得和模型同样喽
咱们发现最多会有三只豆豆没分到屁桃，太可怜了，干脆先给四只豆豆每人发一个屁桃而后再收回来
那这样就会多出四个屁桃，因此问题就变成了十五个屁桃，四只豆豆，每只豆豆至少一个屁桃
而后就能够很轻易地抽象出模型：

把\(15\)个相同物品分红不一样\(4\)组，有几种方案

答案是\(C_{14}^{3}\)

欸？好像忘了把屁桃收回来了，真是喂了狗了

有四只小狗，叫豆豆一号，豆豆二号……有十一个如出一辙的屁桃（一种桃子），如今要把屁桃分给豆豆们，鉴于上一题中豆豆们太可怜，如今要求每只豆豆最少两个屁桃，请问有多少种分配方案

有上一题的启发就好办多了嘛，咱们先给每只豆豆一个屁桃
问题变为有七个屁桃，要分给四只豆豆，每只豆豆至少一个，有多少种方案，这不就是基本模型吗

变形三

停电了，单元楼的楼梯有\(11\)个台阶，为了防止隔壁的老奶奶散步回来看不到路，豆豆要在楼梯上放三支蜡烛，每一个台阶上只能放一个，相邻的台阶不能都放（由于做用不大），请问有多少种放置的方案

\(emmmm\)又变得和模型不同了，怎么办呢
咱们的思路仍是把没见过的模型转换成咱们会的模型
咱们稍微把题目里的主人公们换一换，咱们把蜡烛换成板子，把台阶换成神探
怎么样，是否是很熟悉，这不就是用\(3\)块板子把八位神探分红四组嘛
等等，是否是漏了什么？？？
哦对了，这个题里咱们能够把板子插在最左边和最右边
答案就是\(C_{7+2}^{3}\)

捆绑法

和乘法原理很像的

适用范围

用于解决某几个物品必须在一块儿的排列问题

问题

豆豆有好多书啊，有全套七本哈利波特，四本数学课本和三本课外杂志。出于对魔法世界的敬畏，豆豆必需要把哈利波特摆在一块儿，在数学老师的淫威之下（其实咱们的数学老师人很好的QWQ），也必须把数学课本摆在一块儿，请问有几种摆放方法呢

咱们要把不会的转变成咱们会的
把哈利波特当作一个总体\(A\)，把数学课本当作一个总体\(B\)，剩下的三本杂志是\(CDE\)
而后问题就转换成了五个字母，有多少种排列的方法
答案是\(A_{5}^{5}\)
可是哈利波特的七本也是不一样的啊，因此\(A\)内部的摆放方法有\(A_{7}^{7}\)
同理，数学课本也有\(A_{4}^{4}\)种，这就是典型的分步乘法
因此最终答案是\(A_{5}^{5}A_{4}^{4}A_{7}^{7}\)

基本模型

有\(n\)个物品，其中有\(m\)个物品\(A\)必须摆在一块儿，摆放方案数为\(A_{n-m+1}^{n-m+1}A_{m}^{m}\)

要注意必须在一块儿的物品有没有顺序要求哦，若是没有要求，答案就是\(A_{n-m+1}^{n-m+1}\)

插空法

实际上是插板法的变形

适用范围

用于某几个物品不能在一块儿的问题

问题

屁桃和豆豆吵架了，刚好这天全球七大蠢蛋要在一块儿照相，豆豆和屁桃固然不想挨在一块儿照相，请问有多少种拍照的方式呢

仍是老思路啦，化不会的为会的
怎么办呢
既然屁桃和豆豆这么倔，那不如咱们把他俩当作两块顽固的板子吧
问题变成了两块板子把五个蠢蛋分红三组，每组最少一我的，有多少种方案
容我细细思考，发现板子能够插在最左边和最右边
答案就是\(C_{6}^{2}\)

总结

相同物品分组用插板法
存在相邻物品用捆绑法
存在不邻物品用插空法

千万注意考虑两端可否插板的问题

一些其它问题的独特思考方法和思路

实际上是一些本身发现的奇技淫巧（不少人应该原本就会吧

三个运动员，要报名两个项目，每一个人只能且必须报一项，请问有几种报名方案

如何判断这个问题的答案是\(2^3\)仍是\(3^2\)呢，如下是从信息奥赛的角度进行理解

受到答案形式的启发（\(3^2\)或\(2^3\)）咱们考虑采用转换进制的方法

二进制数\(111_2\)的大小是多少呢？简单运算一下发现是\(7\)
运算方法\(2^0+2^1+2^2\)，为了方便咱们表示为\(2^3-1\)
那么比\(7\)小的天然数有几个呢？八个，即\(2^3-1+1 = 2^3\)
他们的二进制形式分别是
\(000\)，\(001\)，\(010\)，\(011\)，\(100\)，\(101\)，\(110\)，\(111\)
观察一下，有什么发现？
这八个数，就是用\(0\)和\(1\)组成一个三位数的全部状况
那咱们再深刻思考，咱们用\(0\)表示参加项目\(A\)，用\(1\)表示参加项目\(B\)
用第一位数表示第一我的，第二位数表示第二我的，第三位数表示第三我的
那么以上八个数字就是全部的状况了，可见共有八种状况，也就是\(2^3\)种
第一个\(2\)表示能够选的项目数，咱们把选项目\(A\)或\(B\)叫作运动员的状态，那第一个\(2\)就是状态数
第二个\(3\)就是运动员的数目

一样的，若是是三个运动员报名四个项目，咱们能够表示成\(4^3 - 1 + 1 = 4^3\)

总而言之，面对没见过的奇怪的题，咱们要想办法把它转化成咱们熟悉的形式

不知道怎么分类，随手扔到数论区里吧~ 啊我要去睡觉了，好困QWQ