线性表及其表示

目录

• 1、多项式的表示
  • 1.1 一元多项式及其运算
  • 1.2 如何表示多项式
  • 1.3 方法1：顺序存储结构直接表示
  • 1.4 方法2：顺序存储结构表示非零项
  • 1.5 方法3：链表结构存储非零项
• 2、什么是线性表
• 3、线性表的抽象数据类型描述
• 4、线性表的顺序存储实现
  • 主要操做的实现
  • 4.1 初始化（创建空的顺序表）
  • 4.2 查找
  • 4.3 插入（第\(i(I\leq{I}\leq{n+1}\)）个位置上插入一个值为\(X\)的新元素）
  • 4.4 删除（删除表的第\(i(1\leq{i}\leq{n})\)个位置上的元素）
• 5、线性表的链式存储实现
  • 5.1 求表长
  • 5.2 查找：
    • 5.2.1 按序号查找：FindKth；
    • 5.2.2 按值查找：Find
  • 5.3 删除（删除链表的第\(i(1\leq{i}\leq{n})\)个位置上的结点）
• 6、二元多项式的表示
• 7、广义表
• 8、多重链表
  • 8.1 例1：多重链表表示矩阵
• 9、Python实现-单链表

1、多项式的表示

1.1 一元多项式及其运算

一元多项式：\(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\)

主要运算：多项式相加、相减、相乘等

如何用程序设计语言表示多项式，而且实现对多项式的操做？

1.2 如何表示多项式

• 多项式的关键数组
  • 多项式项数\(n\)
  • 各项系数\(a_i\) 及指数 \(i\)

1.3 方法1：顺序存储结构直接表示

数组各份量对应多项式各项：a[i]表示项\(x^i\)的系数\(a_i\)

例如：\(f(x)=4x^5-3x^2+1\)

表示以下图所示：

两个多现实相加：两个数组对应份量相加

问题：如何表示多项式\(x+3x^{2000}\)，至少要有2001个份量表示，而且20001个份量中只有两项是非零的，这样的表示方法是有很大问题的

1.4 方法2：顺序存储结构表示非零项

每一个非零项\(x_ix^i\)涉及两个信息：系数\(a_i\)和指数\(i\)

能够将一个多项式当作是一个\((a_i,i)\)二元组的集合。

用结构数组表示：数组份量是由系数\(a_i\)、指数\(i\)组成的结构，对应一个非零项

例如：\(P_1(x)=9x^{12}+15x^8+3x^2\)和\(P_2(x)=26x^{19}-4x^8-13x^6+82\)

按指数大小有序存储！

相加过程：从头开始，比较两个多项式当前对应项的指数

$ P1: (9,12), (15,8), (3,2) $

$ P2: (26,19), (-4,8), (-13,6), (82,0) $

$P3: (26,19) (9,12) (11,8) (-13,6) (3,2) (82,0) $

\(P_3(x)=26x^{19}+9x^{12}+11x^8-13x^6+3x^2+82\)

1.5 方法3：链表结构存储非零项

链表中每一个结点存储多项式中的一个非零项，包括系数和指数两个数据域寄一个指针域

/* c语言实现 */

typedef struct PolyNode *Polynomial;
struct PolyNode{
  int coef;
  int expon;
  Polynomial link;
}

# python语言实现

class PolyNode():
  def __init__(coef, expon):
    self.coef = coef
    self.expon = expon
    self.next = None

例如：
\[ \begin{aligned} & P_1(x） = 9x^{12}+15x^8+3x^2 \\ & P_2(x) = 26x^{19}-4x^8-13x^6+82 \end{aligned} \]
链表存储形式为：

链表形式表现的多项式加法过程相似于前两种方法。

2、什么是线性表

多项式表示问题的启示：

1. 同一个问题能够有不一样的表示（存储）方法
2. 有一类共性问题：有序线性序列的组织和管理

“线性表(Linear List)”：由同类型数据元素构成有序序列的线性结构

• 表中元素个数称为线性表的长度
• 线性表没有元素时，称为空表
• 表起始位置称表头，表结束位置称表尾

3、线性表的抽象数据类型描述

类型名称：线性表（List）

数据对象集：线性表是\(n(\geq{0})\)个元素构成的有序序列\((a_1,a_2,\dots,a_n)\)

操做集：线性表\(L\in{List}\)，整数\(i\)表示位置，元素\(X\in{ElementType\)，线性表基本操做主要有：

1. List MakeEmpty()：初始化一个空线性表\(L\)；
2. ElementType FindKth( int K, List L )：根据位序\(K\)，返回相应元素 ；
3. int Find( ElementType X, List L )：在线性表\(L\)中查找\(X\)的第一次出现位置；
4. void Insert( ElementType X, int i, List L)：在位序\(i\)前插入一个新元素\(X\)；
5. void Delete( int i, List L )：删除指定位序\(i\)的元素；
6. int Length( List L )：返回线性表\(L\)的长度\(n\)。

4、线性表的顺序存储实现

利用数组的连续存储空间顺序存放线性表的各元素

/* c语言实现 */

typedef struct LNode *List; /* 定义结构体指针 */
struct LNode{
  ElementType Data[MAXSIZE]; /* 数组类型的Data，数组最大长度为MAXSIZE */
  int Last;
}; /* 定义结构体 */
struct LNode L; /* 声明变量L */
List PtrL; /* 声明结构体PtrL */

访问下标为\(i\)的元素：L.Data[i]或PtrL->Data[i]（取出PtrL所指向的结构体中包含的数据项Data[i]）

线性表的长度：L.Last+1或PtrL->Last+1（取出PtrL所指向的结构体中包含的数据项Last并加1）

主要操做的实现

4.1 初始化（创建空的顺序表）

/* c语言实现 */

List MakeEmpty()
{
  List PtrL;
  PtrL = (List)malloc(sizeof(struct LNode)); /* 申请一个结构体 */
  PtrL->Last = -1;
  return PtrL;
}

4.2 查找

查找成功的平均比较次数为\((n+1)/2\)，平均时间性能为\(O(n)\)

/* c语言实现 */

int Find(ElementType X, List Ptrl)
{
  int i = 0;
  while (i <= Ptrl->Last && Ptrl->Data[i] != X)
    i++;
  if (i > Ptrl->Last) return -1; /* 若是没找到，返回-1 */
  else return i; /* 找到后返回的事存储位置 */

4.3 插入（第\(i(I\leq{I}\leq{n+1}\)）个位置上插入一个值为\(X\)的新元素）

平均移动次数为\(n/2\)，平均时间性能为\(O(n)\)

/* c语言实现 */

void Insert(ElementType X, int i, List PtrL)
{
  int j;
  if (Ptrl->Last == MAXSIZE - 1){ /* 表空间已满，不能插入 */
    printf("表满");
    return ;
  }
  if (i<1 || PtrL->Last+2){
    printf("位置不合法");
    return ;
  }
  for (j=PtrL->Last; j>=i-1; j--)
    PtrL->Data[j+1] = Ptrl->Data[j]; /*将a_i~a_n倒序向后移动*/
  PtrL->Data[i-1] = X; /* 新元素插入 */
  PtrL->Last++; /* Last仍指向最后元素 */
  return;
}

4.4 删除（删除表的第\(i(1\leq{i}\leq{n})\)个位置上的元素）

平均移动次数为\((n-1)/2\)，平均时间性能为\(O(n)\)

/* c语言实现 */

void Delete(int i, List Ptrl)
{
  int j;
  if(i<1 || i>PtrL->Last+1){ /* 检查空表及删除位置的合法性 */
    printf("不存在第%d个元素", i);
    return ;
  }
  for (j=i, j<=Ptrl->Last; j++)
    PtrL->Data[j-1] = Ptrl->Data[j]; /* 将a_{i+1}~a_n顺序向前移动*/
  Ptrl->Last--; /* Last仍指向最后元素 */
  return;
}

5、线性表的链式存储实现

不要求逻辑上相邻的两个元素物理上也相邻；经过“链”创建起数据元素之间的逻辑关系。即插入、删除不须要移动数据元素，只须要修改“链”。

/* c语言实现 */

typedef struct LNode *List;
struct LNode{
  ElementType Data;
  List Next;
};
struct Londe L;
List PtrL;

5.1 求表长

时间性能为\(O(n)\)

/* c语言实现 */

int Length(List PtrL)
{
  List p = PtrL; /* p指向表的第一个结点 */
  int j = 0;
  while (p) {
    p = p->Next;
    j++; /* 当前p指向的是第j个结点 */
  }
  return j;
}

5.2 查找：

平均时间性能为\(O(n)\)

5.2.1 按序号查找：FindKth；

/* c语言实现 */

List FindKth(int K, List PtrL)
{
  List p = Ptrl;
  int i = 1;
  while (p != NULL && i < K){
    p = p->Next;
    i++;
  }
  if (i==K) return P; /* 找到第K个，返回指针 */
  else return NULL; /* 不然返回空 */

5.2.2 按值查找：Find

/* c语言实现 */

List Find(ElementType X, List PtrL)
{
  List p = PtrL;
  while (p != NULL && p->Data != X)
    p = p->Next;
  return p;
}

1. 插入（在第\(i-1(1\leq{i}\leq{n+1})\)个结点后插入一个值为\(X\)的新结点）

   1. 先构造一个新结点，用s指向；

   2. 再找到链表的第\(i-1\)个j结点，用\(p\)指向；

   3. 而后修改指针，插入结点（\(p\)以后插入新结点是\(s\)）

/* c语言实现 */

List Insert(ElementType X, int i, List PtrL)
{
  List p, s;
  if (i == 1){ /* 新结点插入在表头 */
    s = (List)malloc(sizeof(struct LNode)); /* 申请、填装结点 */
    s->Data = X;
    s->Next = Ptrl;
    return s; /* 返回新表头指针 */
  }
  p = FindKth(i-1, Ptrl); /* 查找第i-1个结点 */
  if (p == NULL){ /* 第i-1个不存在，不能插入 */
    printf("参数i错");
    return NULL;
  }else{
    s = (List)malloc(sizeof(struct LNode)); /* 申请、填装结点 */
    s->Data = X;
    s->Next = p->Next; /* 新结点插入在第i-1个结点的后面*/
    p->Next = s;
    return PtrL;
  }

5.3 删除（删除链表的第\(i(1\leq{i}\leq{n})\)个位置上的结点）

平均查找次数为\(n/2\)，平均时间性能为\(O(n)\)

1. 先找到链表的第\(i-1\)个结点，用\(p\)指向
2. 再用指针\(s\)指向要被删除的结点（\(p\)的下一个结点）；
3. 而后修改指针，删除\(s\)所指结点；
4. 最后释放\(s\)所指结点的空间。

/* c语言实现 */

List Delete(int i, List PtrL)
{
  List p, s; /* 若要删除的事表的第一个结点 */
  if (i == 1){
    s = PtrL; /* s指向第1个结点 */
    if (PtrL != NULL) PtrL = PtrL->Next; /* 从链表中删除 */
    else return NULL;
    free(s); /* 释放被删除结点 */
    return PtrL;
  }
  p = FindKth(i-1, PtrL); /* 查找第i-1个结点 */
  if (p == NULL){
    printf("第%d个结点不存在", i-1); return NULL;
  } else if (i->Next == NUll){
    printf("第%d个结点不存在", i); return NULL;
  } else {
    s = p->Next; /* s指向第i个结点 */
    p->Next = s->Next; /* 从链表中删除*/
    free(s); /* 释放被删除结点*/
    return PtrL;
  }

6、二元多项式的表示

咱们知道了一元多项式的表示，那么二元多项式又该如何表示？好比，给定二元多项式：\(P(x,y)=9x^{12}y^2+4x^{12}+15x^8y^3-x^8y+3x^2\)

能够将上述二元多项式当作关于\(x\)的一元多项式：\(P(x,y)=(9y^2+4)x^{12}+(15y^3-y)x^8+3x^2\quad(ax^{12}+bx^8+cx^2)\)

所以，上述二元多项式能够用“复杂”链表表示为下图所示：

7、广义表

• 广义表是线性表的推广
• 对于线性表而言，\(n\)个元素都是基本的单元素；
• 广义表中，这些元素不只能够是单元素也能够是另外一个广义表。

/* c语言实现 */

typedef struct GNode *GList;
struct GNode{
  int Tag; /* 标志域：0表示结点是单元素，1表示结点是广义表 */
  union{ /* 字表指针域Sublist与单元素数据域Data复用，即公用存储空间 */ 
    ElementType Data;
    Glist SubList;
  }URegion;
  Glist Next; /* 指向后继结点 */
}

8、多重链表

多重链表：链表中的结点可能同时隶属于多个链

• 多重链表中结点的指针域会有多个，如前面例子包含了\(Next\)和\(SubList\)两个指针域；
• 但包含两个指针域的链表并不必定是多重链表，好比在双线链表不是多重链表。

多重链表有普遍的用途：基本上如树、图这样相对复杂的数据结构都能够采用多重链表方式实现存储。

8.1 例1：多重链表表示矩阵

矩阵能够用二维数组表示，但二维数组表示有两个缺陷：

1. 一是数组的大小须要事先肯定，
2. 对于“稀疏矩阵”，将形成大量的存储空间浪费。

\[ A=\begin{bmatrix} 18&0&0&0&2&0 \\ 0&27&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&-4&0 \\ 23&-1&0&0&0&12 \end{bmatrix} \]

\[ B=\begin{bmatrix} 0&2&11&0&0&0& \\ 3&-4&-1&0&0&0 \\ 0&0&0&9&13&0 \\ 0&-2&0&0&10&7 \\ 6&0&0&5&0&0 \\ \end{bmatrix} \]

分析：采用一种典型的多重链表——十字链表来存储稀疏矩阵

• 只存储矩阵非0元素相：结点的数据域：行坐标\(Row\)、列坐标\(Col\)、数值\(Value\)

• 每一个结点经过两个指针域，把同行、同列串起来；

  • 行指针（或称为向右指针）Right

  • 列指针（或称为向下指针）Down

下图为矩阵A的多重链表图：

用一个标识域\(Tag\)来区分头结点和非0元素结点；

头结点的标识值为“Head”，矩阵非0元素结点的标识值为“Term”。

9、Python实现-单链表

class Node(object):
    def __init__(self, val, p=0):
        self.data = val
        self.next = p


class LinkList(object):
    def __init__(self):
        self.head = 0

    def __getitem__(self, key):

        if self.is_empty():
            print('linklist is empty.')
            return

        elif key < 0 or key > self.getlength():
            print('the given key is error')
            return

        else:
            return self.getitem(key)

    def __setitem__(self, key, value):

        if self.is_empty():
            print('linklist is empty.')
            return

        elif key < 0 or key > self.getlength():
            print('the given key is error')
            return

        else:
            self.delete(key)
            return self.insert(key)

    def initlist(self, data):

        self.head = Node(data[0])

        p = self.head

        for i in data[1:]:
            node = Node(i)
            p.next = node
            p = p.next

    def getlength(self):

        p = self.head
        length = 0
        while p != 0:
            length += 1
            p = p.next

        return length

    def is_empty(self):

        if self.getlength() == 0:
            return True
        else:
            return False

    def clear(self):

        self.head = 0

    def append(self, item):

        q = Node(item)
        if self.head == 0:
            self.head = q
        else:
            p = self.head
            while p.next != 0:
                p = p.next
            p.next = q

    def getitem(self, index):

        if self.is_empty():
            print('Linklist is empty.')
            return
        j = 0
        p = self.head

        while p.next != 0 and j < index:
            p = p.next
            j += 1

        if j == index:
            return p.data

        else:

            print('target is not exist!')

    def insert(self, index, item):

        if self.is_empty() or index < 0 or index > self.getlength():
            print('Linklist is empty.')
            return

        if index == 0:
            q = Node(item, self.head)

            self.head = q

        p = self.head
        post = self.head
        j = 0
        while p.next != 0 and j < index:
            post = p
            p = p.next
            j += 1

        if index == j:
            q = Node(item, p)
            post.next = q
            q.next = p

    def delete(self, index):

        if self.is_empty() or index < 0 or index > self.getlength():
            print('Linklist is empty.')
            return

        if index == 0:
            q = Node('', self.head)

            self.head = q

        p = self.head
        post = self.head
        j = 0
        while p.next != 0 and j < index:
            post = p
            p = p.next
            j += 1

        if index == j:
            post.next = p.next

    def index(self, value):

        if self.is_empty():
            print('Linklist is empty.')
            return

        p = self.head
        i = 0
        while p.next != 0 and not p.data == value:
            p = p.next
            i += 1

        if p.data == value:
            return i
        else:
            return -1


l = LinkList()
l.initlist([1, 2, 3, 4, 5])
print(l.getitem(4))  # 5
l.append(6)
print(l.getitem(5))  # 6

l.insert(4, 40)
print(l.getitem(3))  # 4
print(l.getitem(4))  # 40
print(l.getitem(5))  # 5

l.delete(5)
print(l.getitem(5))  # 6

l.index(5)