Notes of fwt

昨天考试因为不会fwt而爆炸,因此今天搞了一下fwt……话说这玩意的普及程度已经很高了.
fwt,快速沃尔什变换,能够用于位运算卷积的优化,是一种线性变换,因此就会有许多好的性质(eg:能够直接模,能够修改运算等). & | ^ 的变换定义与方法是基础,在此基础上的扩展与运用是重要的地方.
HZOI #1572.宇宙序列
　　notes:

这就是形成我考试爆炸的考试题,见Contest Record

UOJ #310.【UNR #2】黎明前的巧克力
　　notes:

感受比较灵活的一道题.首先写出裸dp,以后会发现答案就是许多数组连续进行fwt,这个时候通过观察会发现,每一个数组变换后每一个位置上不是-1就是3这个时候咱们能够对于每一位进行单独考虑,去算与这一位&以后有奇数位的数的个数,以及与这一位&以后有偶数位的数的个数,咱们能够用fwt计算这个,而后计算每一位的最后答案,最后再ifwt回去.
思想:
　　I.感受在fwt里利用对应位相乘所致使的每一位互相独立是许多fwt题目中解题的关键.
　　II.在这个题目中观察性质从而改变问题的思路很巧妙啊.

UOJ #267.【清华集训2016】魔法小程序
　　notes:

就是对于|运算fwt的扩展,看懂题意以后其实就是个加工板子的过程.不过,感受那个数据范围给的好迷啊,为何int就能够呢……不会证实……

UOJ #300.【CTSC2017】吉夫特
　　notes:

题目比较傻逼,首先能够写出n^2裸dp来,而后用Lucas定理能够证实出,一个组合数为奇数的充要条件,而后就能够枚举子集来dp了,是O(3^18).
实际上这题能够作得更加优秀.
首先这题能够进行序列上的分块,作到O(2^27).
而后这道题还能够用二进制分块来动态维护&运算fwt数组,从而作到O(6^9).
思想:用Lucas定理来进行组合数相关的证实(我反正是没想到这玩意)、分块思想(序列分块、二进制分块).
技巧:枚举子集是i=(i-1)&x,枚举父集是i=(i+1)|x.

UOJ #348.【WC2018】州区划分
　　notes:

先写出O(3^n)的傻逼dp,而后开始优化.
发现转移是子集卷积的形式,因而考虑进行子集卷积,而后这题就完事了.
子集卷积:
　　f(i)=sigma [j|k=i,j&k=0] g(j)*h(k);
　　转化为f(c,i)=sigma [j|k=i,|j|+|k|=c] g(j)*h(k)
　　这个时候咱们原来的子集卷积,就变为了二维卷积(也就是加法卷积套|运算卷积),显然第一维卷积能够直接计算,第二维卷积fwt就能够了,因而子集卷积的复杂度从O(3^n)优化到了O(n^2*2^n).