关于连续统假设

1.连续统假设的来源及其历史演变

连续统假设，简称CH，是康托尔在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就必须了解康托尔是怎样创建集合论的.

康托尔采用了两种方法来构造愈来愈大的无穷集合

第一种方法是利用幂集合，他证实了一个集合总比其幂集合要小，并且天然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势，即：元素个数相等，这样，从天然数集N开始，利用幂集合方法，就能够造成一系列愈来愈大的无穷幂集合.

N, P(N), P(P(N)),...

第二种方法是利用超穷数，康托尔提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始，任何序数α加1后还是一个序数，这样，从1开始，就能够造成一个无穷序数序列.

1,2,3,…,n,…

在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，若是一个无穷序数序列中没有最大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数，这样，从ω开始反复加1，又能够获得一系列无穷极限序数.

ω,…, 2ω,…,ω2,…,ωn,…

但这些极限序数都是等势的，第三原则，康托尔认为，这个极限序数序列中也没有最大序数，因此必然存在一个更大的超穷序数ω1，它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大，这样，反复利用这三条原则，就能够造成一系列愈来愈大的无穷极限序数，又被称为超穷基数.

ω1,…,ω2,…,ωn,…

康托尔天然就提出这样一个问题：实数集R的基数2ω到底和上述哪一个超穷基数等势呢?他认为2ω等于ω1，这就意味着在N和R之间不存在其余无穷集合，但康托尔不能给出证实，这一问题就被称为连续统假设，后来，人们把CH进行了推广，认为对于任何一个超穷基数ωn,都有2^(ωn)=ωn+1成立，这就是广义连续统假设GCH.

但不久人们就在康托尔的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并前后创建了几个集合论公理系统，这些系统被证实都是等价的，人们一般使用的是ZFC，进行公理化后，基本上都能消除悖论.

可是，接着又出现了新的问题，哥德尔和柯恩一块儿证实了：CH在ZFC中是不可断定的，这一结果当即引发了人们对数学基础问题的极大争论，其中，哥德尔和柯恩两人的见解是具备表明性的.

柯恩是个形式主义者，他认为CH问题“是没有内在的意义的”，在他看来，CH在集合论中的地位，就相似于平行公理在几何学中的地位，它可能成立也可能不成立，所以就存在不一样的集合论公理系统，就好像存在不一样的几何学同样，他还把CH不成立的集合论称为非康托尔集论，柯恩的见解赢得了大多数数学家的赞同，这是主流的观点，一些极端的形式主义者甚至认为2ω能够等于任何一个ωn，每一种可能都描述了连续统上一种不一样的流形结构，从这种意义上来讲，CH问题已经获得了解决.

但哥德尔恐怕很难赞成上述意见，他是个客观主义者也能够说是柏拉图主义者，他认为像CH这样一个命题是彻底能够做出断定的，而CH在ZFC中的不可断定性，“只能意味着这些公理没有包括那个实在(指连续统)的完备的描述”，说得更直观一点，像“在天然数集N和实数集R之间究竟还有没有另外一个无穷集合”这样的问题，彷佛是应该有一个明确结论的，从这种意义上来讲，CH问题尚未获得解决.

但究竟怎样来解决CH问题，两人的意见是一致的，那就是必须从新考察集合论基础，哥德尔认为：“这些问题的彻底解决，只有经过对在它们中出现的词项(如‘集合’、‘一一对应’，等等)和支配这些词项的使用的公理进行(比一般所做的)更深刻的分析，才能获得”，柯恩也认为，若是要来“发展咱们的哪些公理应当被接受”，那“咱们必须整个地放弃科学的计划而且返回差很少是本能的水平，即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少类似的状态”，并且两人都猜想，CH颇有多是不成立的，对此柯恩说得很明白：“由构造幂集提供的连续统，不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程能够达到的，这样，2ω将被认为大于ω1，ω2，ωn的基数”，也就是说，2ω要大于任何超穷基数，而这正是我所证实的结果.

2.关于连续统假设的否认性证实简介

我差很少花了十年时间来研究CH问题，个人证实思想是很是直观和简洁的，但整个证实的展开却很是复杂和精致，若是不是感觉到证实中的美，我是不会花这么大的精力和这么长的时间来投入其中的.

个人出发点很简单：就是要把N的子集合来排成一个良序集，弗兰克尔曾经指出过，由子集合公理和选择公理产生的子集合可能与幂集合公理产生的子集合有很大差异，弗兰克尔曾明确指出：“康托尔认为，S的子集合就是S的一部分，子集合公理和选择公理产生的子集合可能与康托尔的子集合概念有很大区别，在没有弄清楚子集合的确切含义以前，不可能肯定子集合的数目”，而这也正是柯恩的猜想，根据选择公理，咱们能够将N的子集合排成一个良序集，选择公理的直观含义是指：对于任何一个无穷集合，咱们均可以从中取出一个“表明元素”来，也就是说，咱们能够从无穷集合中取出它的任何一个元素来组成一个新的集合，这样，按照天然数的顺序依次取出1，2，3，...，n，...来做为“表明元素”，就能够把N的子集合排成以下一个良序集：

｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝，｛1，4｝，...

｛2｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，3，4｝，｛2，5｝，...

｛n｝，｛n，n+1｝，｛n，n+2｝，｛n，n+1，n+2｝，｛n+3｝，...

这个良序集的排列顺序与康托尔的超穷序数序列是严格对应的，咱们把这个良序集记做P∞(N)，称为“N的超幂集合”，须要注意的是，P∞(N)并不必定等于P(N)，也就是说，幂集合公理并不必定成立，这是我解决CH问题的一个关键性思想.

这样，从N开始，就能够造成一系列的无穷超幂集合:

P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N)))，...

经过从新考察集合论基础，我发展出一种很是精致的方法来描述超幂集合序结构的逻辑性质，但这里就不展开讨论了，并最后证实了两个定理:

1.超幂集合P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基数是逐次增大的
2.全部P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基数都小于2ω

个人证实中还包含了许多重要的内容，其中有两个定理至关于两个较强的哥德尔不完备性定理，有一个定理至关于勒文海姆－斯科伦定理，这就说明它决不是孤立的，与原来的集合论之间确定存在着某种内在的联系.

3.断定连续统假设对数学的重大意义

数学基础中最主要的问题就是如何处理天然数和实数的关系，即如何用离散的方法来构造连续统，自从古希腊人发现这个难题以来，至今它仍未获得彻底解决，利用戴德金分割并不能获得全部的实数，它最多只能获得全部的代数数，而绝大多数超越数是不可构造的，甚至不可知的，直觉主义数学家海廷曾经评价过，戴德金分割，这个算法仍然没有给咱们提供任何途径来断定一个有理数A究竟位于C的左边或右边或者恰好等于C，所以，咱们将不能保证欧拉常数C是一个实数，非标准分析也给咱们提供了这样一种印象，直线上的点实际上是无限可分的，这就说明，咱们对连续统还所知甚少，数学概括法是数学的基本方法，它是创建在天然数基础上的，对连续统假设的否认性证实正好说明:人们能够用这种方法去无限逼近连续统，但却永远也不能达到其尽头，正如帕斯卡尔比喻的那样：人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟，咱们总想要追求某种肯定性，但却永远也抓不住，一不当心咱们的整个基础就会分崩离析，而下面就是那无底深渊，对于天然，咱们人类永远只是探索者，而没有终结者.