暑假训练idea汇总

        AFO时间过长致使看什么都以为新鲜……暑假训练主要就是打一打hdu和nowcoder的多校，题目没什么好保密的。由于没有部分分可能并不适合学弟学妹们练习，不过有些idea仍是颇有意思的，看成课余消遣大约不错。思惟能力很强的oier想必头脑中都有不少妙不可言的模型吧？没有用公式题解果真不美观qwq

 

 

7.22  

CF1189  A1  Add on a Tree

简要题意：给定一棵树，每次选两个叶子，给它们之间的路径上的边加任意实数权。如今假设这棵树每一个边都有一个随机边权，问按上述规则是否存在构造方案。要求线性复杂度。

简要题解：度为 2 的点所连的两边必须相同，因此判度数便可。对于其余状况都可在子树中调整，充分性一样可证。

 

CF1189  A2 Add on a Tree：Revolution

简要题意：把前一题中的实数权改成正整数，规定每条边的边权，给出一个构造方案。要求线性复杂度。

简要题解：按照 dfs 序构造，关键在于怎样消除上面操做对已经完成部分的影响。将一个叶子节点设为根，其余叶子节点直接向根连要求权值的边。对于非叶子节点，选取子树中两个叶子之间连（出权-入权）/2，再由两个叶子分别向根连边，便可知足当前要求而且不破坏以前构造。过程当中出现了小数或上一题中矛盾即为无解，算法题每每把一个总体问题“分步处理”，尽量消除后效性才能够获得满意的复杂度。

 

 

7.25  2019牛客多校3

G Removing Stones

简要题意：有n堆石子，每一个堆有ai个，每次取石子要从两个不一样堆各取一个，问有多少区间能够按这个规则取完全部石子，n<=3e5。

简要题解：能够看出题目要求等价于 sum>=2*max，找出区间中最大值，从短的一侧枚举端点，在另外一侧二分更新答案，而后从最大值两侧向下分治。每一次枚举的端点数不超过 1/2，这一步复杂度上限为 log，总复杂度nlog^2。

 

 

7.27  2019牛客多校4

I .string

简要题意：求有多少本质不一样的子串，可是a与rev(a)只统计一遍，要求线性复杂度。 

简要题解：用后缀自动机能够求本质不一样子串个数，一个非回文子串在 s 和 rev(s)中会被记录两次，可是回文串只有一次。因此正反串中本质不一样子串个数 p+回文子串个数 q，每一个串都被记录两遍，/2 即获得答案。注意把反串加入后缀自动机时要和正串分隔开，中间分隔符对答案的影响要消除。

 

D .triples I

简要题意：求至少多少3的倍数能够或运算获得给定的数s，输出方案。

简要题解：从表面上观察 01 的形态并非有效的方法，想到一个二进制位模 3 非 1 即 2， 能够根据给出数字模 3 的余数和中间某些位模 3 的余数来构造合法解，最多只会用到两个数。

 

 

7.29  2019HDU多校3

09   6611   K Subsequence  

简要题意：一个长为n的序列ai，每次取一个不降低子序列，取k次。每一个元素不能被重复选取，问选取元素的和最大是多少。n<=2000，k<=10.

简要题解：能够利用费用流，对源点和序列中每个点拆点限制流量，源点的出点向每一个点入点连边，每一个点出点向汇点连边。暴力建图中由 i 的出点向后方全部权值更大的入点连边，为了优化建边给每一个点拆出的两点之间增长一个费用为 0 流量为 inf，则一个不减的序列能够天然链接，须要再建的只有权值比以前连过的点都小、但不小于 i 的点。

 

 

8.1  2019牛客多校5

E．independent set 1

简要题意：N 个点的图，求每个导出子图的最大独立集，n<=26。

简要题解：状压DP，将每一个点相连的点也用二进制表示。去掉最高位的1来转移， f[i]=max(f[ibin[j]],f[(i-bin[j])&(~e[j])]+1)。时间空间复杂度都是 2^n，用 1 字节的 char 来压内存。

 

F．maximum clique 1

简要题意： N 个点的图，每两个权值至少有两个二进制位不一样的点之间有边，求最大团并输出方案， n<=5000。

简要题解：最大团等于补图的最大独立集，二分图最大独立集=总点数-最小点覆盖。本题中补图有边相连的条件是只有一个二进制位不一样，则同一点连向的两个点必定有两个二进制位不一样，不会有边相连，染色后就可转化为二分图。

输出最大独立集的方案是这道题的亮点。要在匈牙利算法结束后选择左侧未匹配点重复尝试匹配，由于图中已不存在增广路，尝试必定会失败于一条匹配边，而且是未匹配-匹配边交错。标记这 个过程当中遇到的点，选取左侧有标记的点和右侧无标记的点即为最大独立集，其他点为最小点覆盖。

 

 

8.3  2019牛客多校6

I．Can They Go to Galar?

简要题意：给出一个仙人掌，1号点有精灵，边有边权 p。一个已有精灵的点有 p 的几率使与它相连的点出现精灵，问最后指望精灵数。

简要题解：用圆方树处理仙人掌是常规操做，可是由于好久没写过圆方树，开这道题的时间也很是晚，没能 AC。从 1 开始 dfs，一个环中必定有一个点先被到达，称之为起 点，那么从起点到达这个环中的其余点的几率为 1-（1-左侧到达几率 p）*（1右侧到达几率 q）。 因为建树时按 dfs 序求点双，一个方点链接周围圆点的顺序也是 dfs 序，按顺序取出圆点最后一个恰是起点，故几率 p 和 q 能够用前缀/后缀积快速计算。被到达的几率*起点答案即为环中每一个点答案，对于非环中点直接用起点*边权求解。

 

 

8.5  2019HDU多校5

2. 6625 three arrays
简要题意：给出两个数组 a、b，c[i]=a[i]^b[i]，可随意调整 a、b 中数字顺序，求字典序最小的 c 数组。

简要题解：本题容易联想到 trie 树，但若是没有一些必要结论，贪心的正确性很难凭空理解。

       咱们把 a[i]在 b 数组剩余全部数中和 b[j]异或最小称做a[i]选择 b[j]，那么 a[i]b[j]若互相选择则必定为最优解。a[i]选择 b[j]，而 b[j]选择a[k]体现了不等关系 a[k]^b[j]<a[i]^b[j]。若不断地寻找最优，结尾必定是两个数相互选择——由于数字个数有限一定出环，环的大小不等于 2 则可沿不等关系推出 a[i]^b[j]>a[i]^b[j] 的矛盾。按照这种思路模拟，复杂度为 nlogv，trie 树中查找最优复杂度为 logv， 每次查找或者出环消除两个点，或者在队列中新加一个点，次数都为 N。     

       可是贪心的编程复杂度远低于上述解法，只须要每次在 trie 树中找尽可能近的两点并删去。咱们假设在 trie 树中找到了最近的 a[i]、 b[j]，若 a[i]没有选择 b[j]， 说明有更近的 b[k]，与最近矛盾；同理 b[j]也会选择 a[i]。由于在 trie 树中找的是每一个分支最近的两个叶子，而不是像上一个算法同样固定一个去找另外一个，因此它们必定互相选择。在每一个值最小后只须要排序就能获得最小字典序，仅仅凭这个输出要求就推断逐个肯定的思路是不可取的。

 

 

8.7  

G．  What Goes Up Must Come Down

简要题意：要把一个长度<=10^5 的序列经过 swap 调整为先单调不减再单调不增，问最小操做次数。

简要题解：咱们能够先考虑最小的一个数，由于任何其余数都不会越过它到达两端。直接看这个数到哪一端逆序对数较小并选择，由于这是最小数它并不会影响其余数的逆序对数。把最小数移到一端以后就变成了一个子问题，继续取第二小数便可。对于这个算法来讲相等的数没有影响，先取任意一个都是同样的。

 

 

 

 8.8  2019牛客多校7

B． Irreducible Polunomial

简要题意：给出一个 n 次多项式的系数，判断它是否能在实数域内因式分解。

简要题解：一个 n 次多项式有 n 个复数根，两两成对，任取一对相乘便可获得一个实数因式，所以三次及以上必定能够因式分解，而一次及如下必定不能够。二次可否因式分解要看德尔塔，若 b^2<4ac 则不能因式分解。

 

F． Energy stones

简要题意：有 N 个石头，每一个初值为 ei，每秒增长 li，最高到达 ci。有 M 次询问，每次得到 ti 时间后一个区间[li,ri]的值之和，而且将这个区间的值置为 0，问全部询问得到的价值之和，n，m<=1e5。

简要题解：注意到咱们关注的是相邻两次询问的时间差，那么一次询问能够当作一个差分， 在 li 加入这次询问，再在 ri+1 删除。用一个 set 维护当前询问，再用树状数组维护相邻两询问的差。每块石头对答案的贡献能够分红先后两部分，即已经长到 ci 和还未长到 ci 的询问差数，已经长到就用个数*ci，还未长到就用时间*li。注意第一次询问要特殊处理，考虑 ei 的贡献。

 

 

8.10  2019牛客多校8

A．All-one Matrices

简要题意：给出一个长宽不超过3000的01矩阵，问最大全1矩形数。最大矩形即不被其余矩形包含的矩形。

简要题解：预处理每一个点向上延伸的连续1的个数和、向左延伸的l，而后扫每一个点，对每一行h维护一个单调递增的单调栈，每一个栈中元素记录向左延伸长度。当咱们弹栈说明右侧有一个不大于它的数，若这个数比它小，左、右、上三方都不能再延伸，只要用l判断一下下方也不可延伸就能够贡献答案了。

 

 

I. Inner World

简要题意：开始有n棵只有1个点的树，m个连边操做，在区间[l.r]的u端点下连上v，保证v各不相同。以后有q个询问，每次问区间[l,r]的x点子树大小之和，n、m、q<=3e5。

简要题解：由于v各不相同，咱们能够建一棵树，记录每一个点出现的区间。以dfs序为x坐标，出现区间为y坐标，每次询问至关于询问一个矩形的值。咱们建一个大小为n的线段树，依次扫描dfs序上每一个点，把它出现的区间+1。离线询问，一个询问能够化为点x的dfs序中out处[l,r]-in-1处[l.r]的值。

 

 

8.14  2019HDU多校8

8.  6664  Andy and Maze

简要题意：给一张n个点的图，求长度为k的点不重复最长路，n<=1e4，2<=k<=6。

简要题解：正解用了一个有趣的随机化思想。随机给点染上k种颜色，容易用状压dp求得包含k种颜色的最长路。如何保证原图中最长路上的k个点刚好被染成不一样颜色呢？多随机几回，每次正确的几率为k!/k^k，由于k很小，时间能够承受。

 

9.  6665  Calabash and Landlord

简要题意：给出两个边与坐标轴平行的矩形，问它们把平面分红几部分。

简要题解：离散化以后并查集。

 

 

8.15  2019牛客多校9

J．Symmetrical Painting

简要题意：一个白色平面内有n个黑色矩形，如今将任意部分染成白色，使余下黑色部分有一条与x轴平行的对称轴，求黑色部分最大面积。n<=3e5.

简要题解：将y坐标所有乘2，面积问题就变成了距离问题。

       先证实最后答案必定为一个现有矩形的对称轴：将对称轴向上平移，一部分矩形对答案贡献变大，一部分变小；贡献由变大到变小当且仅当整体对称轴穿过该矩形对称轴时，因此最佳决策点必定在某个矩形对称轴处。

        以后作法比较简单，从下到上移动对称轴，预处理每一个矩形开始贡献答案、对答案贡献由变大到变小、结束贡献答案的对称轴。对于每一个对称轴，未变化的矩形对答案的贡献能够直接计算，发生变化的分别处理。每一个矩形最多被特殊处理3次，时间复杂度为线性。

        注意vector里虽然只有3n个元素，可是要求的初始内存较大。可使用邻接表，达到空间线性。