算法复杂度分析学习记录（上）

大 O 复杂度表示法

测试代码：

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }
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假设每行代码的执行时间都同样，为unit_time.

第 二、3 行代码分别须要 1 个 unit_time 的执行时间，第 四、5 行都运行了 n 遍，因此须要 2n*unit_time 的执行时间，因此这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。

接着这个思路看一下代码：

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }
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第 二、三、4 行代码，每行都须要 1 个 unit_time 的执行时间，第 五、6 行代码循环执行了 n 遍，须要 2n * unit_time 的执行时间，第 七、8 行代码循环执行了 n2遍，因此须要 2n2 * unit_time 的执行时间。因此，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。

尽管咱们不知道 unit_time 的具体值，可是经过这两段代码执行时间的推导过程，咱们能够获得一个很是重要的规律，那就是，全部代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

大 O 就要登场了！

T(n):表明代码执行时间
n：表示数据执行规模
f(n)：表示每行代码执行的次数总和
公式中的O,表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比

时间复杂度分析

1.只关注循环执行次数最多的一段代码

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }
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其中第 二、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，因此对于复杂度并无影响。循环执行次数最多的是第 四、5行代码，因此这块代码要重点分析。前面咱们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，因此总的时间复杂度就是 O(n)。

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }
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咱们取其中最大的量级。因此，整段代码的时间复杂度就为 O(n^2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那咱们将这个规律抽象成公式就是： 若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n), g(n))).

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }
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咱们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操做，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数自己不是一个简单的操做，它的时间复杂度是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n)= O(n^2)。

几种常见时间复杂度实例分析

对于刚罗列的复杂度量级，咱们能够大体分两类： 多项式量级和 非多项式量级
当数据规模n愈来愈大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增长，求解问题的执行时间会无限增加，因此非多项式时间复杂度的算法其实很是低效

常见的时间复杂度

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度很是常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }
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从代码中能够看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得咱们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。若是我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

因此，咱们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了.经过 2x=n 求解 x 这个问题咱们想高中应该就学过了，我就很少说了。x=log2n，因此，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
在看一下代码：

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }
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根据以上思路，以上代码的时间复杂度为O(log3n)。
对数之间能够相互转换，log3n 就等于 log32 * log2n，因此O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C==log32 是一个常量。基于咱们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，能够忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，O(log2n) 就等于 O(log3n)。所以，在对数阶时间复杂度的表示方法里，咱们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

若是你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn)就很容易理解了。还记得咱们刚讲的乘法法则吗？若是一段代码的时间复杂度是 O(logn)，咱们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。并且，O(nlogn) 也是一种很是常见的算法时间复杂度。好比，归并排序、快速排序的时间复杂都是 O(nlogn)。

空间复杂度分析

时间复杂度全称为渐进时间复杂度，标示算法的时间与数据规模之间的增加关系。
空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，标示算法的存储空间与数据规模之间的增加关系。

例子：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}
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跟时间复杂度分析同样，咱们能够看到，第 2 行代码中，咱们申请了一个空间存储变量 i，可是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，因此咱们能够忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此以外，剩下的代码都没有占用更多的空间，因此整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增加关系，能够粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并很少，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。