线性中的非线性——国债期货中的交割期权 - 知乎

市场上关于国债期货的讨论和研究有不少，可是关于国债期货交割期权的精细的研究却几乎看不到。一方面，这个问题的难度确实比较大，另外一方面，可能人们也不以为研究这个问题在实际投资交易中有多么大的做用。诚然，在过去十几年固收市场高速发展、粗犷的投资组合管理彻底没有问题的大背景下，这个问题确实没什么意义。可是随着市场的不断成熟，精细化管理成为主流的时候，这个古老的问题就显得历久弥新。app

对于一个固定收益及其衍生品的投资组合，你们最看重的风险指标就是组合的基点价值. 公司对自营帐户受权的时候，dv01也是一个最关键的风险指标。那么一个投资组合中有各类各样的资产，每种资产的dv01如何计算实际上是一个并不简单的问题，好比国债期货。目前，绝大多数（多是100%）的机构在计算国债期货dv01时，是按照以下方式计算的：框架

这么作其实也没什么问题，除了一种状况：当市场利率来到了国债期货标准券coupon附近的时候，也就是3%。最近几个月的市场，恰好就是这种状况，以200006为例，收益率已经在3%上下来回摩擦了好屡次，咱们粗略的分析一下：工具

根据国债期货CTD的经验法则可知，当到期收益率在3%如下，CTD为久期最小的可交割券；当到期收益率在3%以上时，CTD为久期最大的可交割券。以T2012的可交割券为例，短久期的活跃CTD是7年国债200008，基点价大概是0.058元，长久期的活跃CTD是国债当红炸子鸡200006， dv01大概是0.08元。若是到期收益率在3%附近来回摩擦，那么1000手的T2012的dv01就会时而58万，时而80万，如图：3d

此时，利用CTD基点价值就是国债期货基点价值来估计组合风险值的时候就会发现，本身明明什么都没作，dv01就是今天暴涨明天暴跌，来的很是刺激。rest

所以咱们至少能够获得一个结论：用“期货久期=CTD久期“来估算基点价值的方法是有缺陷的，并且至少在中国市场，其实缺陷还比较大；而究其缘由，就是CTD切换时交割期权恰好处于“ATM”，此时的“gamma”比较大，影响到了一阶风险值。毕竟咱们的标准券coupon是3%，不论是5年仍是十年，历史仍是将来，3%都是一个发生过不少次将来也极可能发生不少次的利率水平；而人家美债国债期货的标准券coupon是6% ，在美债波澜壮阔的几十年大牛市下，已经不少年没操心过这个事儿了。blog

除了基点价值的计算，在作国债期货的期现套利策略时，也绕不开对交割期权的估计。在作国债期货基差(basis)策略时，一个重要的考量或者说经验是基差具备均值回归的特性，可是基差因为包含肯定性的carry收入/支出，而不一样时期的ctd票息水平天差地别，仅从这一点看，经过历史基差表现看均值回归是站不住脚的。ci

一个天然的作法是，观察净基差(net basis)。因为净基差=交割期权价值，所以认为净基差具备均值回归的统计属性也是站不住脚的。咱们能够简单的分析一下：数学

利率和价格不变时，一个期货合约剩余期限越长，其交割期权，也就是净基差的价值应该越大（这个“大”的变化率就和利率位置有关了，能够类比欧式期权的theta）；
剩余期限不变时，利率显著高于3%或显著低于3%，交割期权都不太值钱；若是不仅是考虑ctd，咱们将交割券按久期分为三类：长、中、短。那么长久期债券的净基差相似于一个看涨期权的价值，短久期债券的净基差相似于一个看跌期权的价值，中久期债券的净基差相似于一个straddle的价值。因此说利率显著高于3%时，ctd的净基差不值钱，可是短久期交割券的净基差很是值钱，反之亦然（实际上是深度虚值和深度实值）。

若是利率长期在3%附近震荡，这个时候更精细的分析交割期权就更有意义一些，毕竟远离3%时，其非线性的特征已经基本没有了，也就没有分析的必要。那么咱们接下来尝试对交割期权进行订价。it

交割期权之因此有价值，主要是由于期权买方具备在交割券中选择任意一只券进入交割的权利。所以，交割期权买方=国债期货空头。假设国债期货只有一只可交割券，那么根据期货的无套利订价理论，设t时刻在T时刻交割的国债期货合约价格为 ,无风险利率为，交割券t时刻价格为 ,那么：io

$F_t(T)=e^{r(T-t)}(X_t+carry)$

然而，国债期货并不是只有一只可交割券，而是有n只，卖方具备随便挑选n只中的某一直交割的权利，所以对于国债期货来讲，其价格应该为：

$F_t(T)=e^{r(T-t)}(X_t+carry-V(X_1,X_2,...X_n) )$

其中，表明n只可交割券时交割期权的价值。

对于这个期权，咱们还要进一步作一些假设：

假设利率期权是平行移动的：因为国债期货交割券的久期范围较窄，所以该假设还算说的过去；
假设全部可交割券的票息都是3%：这个假设主要是图个方便，由于在此状况下，全部的交割券转换因子都是1。这样在模型中能够省去转换因子，毕竟转换因子就是把票息往3%上靠用的，固然，票息不一样会影响债券的久期和凸性，可是这点影响是可控的，且并非咱们要考虑的主要矛盾。
交割发生在某一天的一瞬间，没有wild card或者timing option捣乱。
最后咱们假设债券的价格符合几何布朗运动（geometric brownian motion）：这个假设说明接下来咱们要在black框架下订价了。

有人会说债券的价格在到期时总会回到100块，pull-to-par的效应会每时每刻把一个折价/溢价债券往100拉，这个假设是否是不太合适。这个问题在上个世纪80年代bond option很火热的时候，聪明的华尔街交易员们已经替咱们想过了，他们总结的一个经验法则是，期权剩余期限只要不超过债券maturity的1/5，这个假设就都没得问题。

你们能够想一想这个1/5的奥妙——一个有用的结论是，溢价债券/折价债券的time decay并非线性的，实际上咱们能够在数学上证实，pull-to-par随着maturity的缩短在不断加速。证实很简单，利用债券的订价公式对maturity求二阶导便可。而搞清楚这种加速在什么程度时会统计上影响布朗运动的随机性，或许就是1/5的理论解释。

ok接下来咱们还有一个最重要的假设：

5. 假设可交割券只有2只，和。

这是一个很是苛刻的条件，但也是为了下降模型复杂度而不得不作出的牺牲。固然，后面咱们探讨n只可交割券状况下的模型，如今先将就一下。

假设到这就差很少了，问题就简化成了一个在black框架下对多资产，准确的说是双资产欧式期权订价的问题（能够尝试写一下交割期权的payoff），Margrabe's[1978]已经为咱们提供了答案：

$W_t(T,X_{1t}^*,X_{2t}^*)=X_{1t}^*N(d_1)-X_{2t}^*N(d_2)$

其中：

$d_1=\frac{ln(X_{1t}^*/X_{2t}^*)+1/2\sigma ^2(T-t))}{\sigma\sqrt{T-t}}$

$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}$

$\sigma^2=Var[ln(X_{1t}^*/X_{2t}^*)]$

表明债券的远期价格。

如今有了一个解析解。因为假设了利率的平行移动，所以计算 $\partial F_t/\partial y$ 就能够了，其中y表明ytm。按照这个框架从新审视以前dv01的计算问题，会变成这样婶儿的：

反正有了解析解，什么都好办，并且对于以前提到的一些问题，这个方法虽然挫了点，可是好歹比以前科学了不少。

接下来咱们回到假设5——只有两个交割券。能够说这个假设是极其过度而不可原谅的，可是多资产期权和双资产期权彻底不是一个复杂度；此外，平行移动的假设也不够完美，好比对于十年国债期货T来讲，7年和10年的利差历史波动率幅度仍是有几十个bp的，并非那么平行，并且票息相同且等于3%更不是一个使人满意的假设。所以，得换个办法试试看，咱们从折现因子曲线出发，从新对利用期货订价的思路重写上面的结论：

假设可交割券有只，每只债券 $i(1\leq i \leq N)$ 在交割日T以后有期现金流，现金流金额为 $c_{i,j}$ ，支付时间为 $t_{i,j}$ 。设为交割时的应计利息，为债券的转换因子。咱们此时此刻站的时间是 $\theta$ ，设剩余期限(maturity)为的零息债券在时刻的价格为。为t时刻的期货价格，设为交割时的CTD券，那么根据期货订价理论可知，期货价值等于CTD的远期价格：

$\sum_{j=1}^{n_i^*}{c_{i^*,j}\frac{P(\theta,t_{i^*,j})}{P(\theta,T)}}=F_{\theta}K_{i^*}+A_{i^*}$

简单解读一下，等式左边求和项只对分子起做用，即债券的订价公式，分母相似于以前的 $e^{rt}$ 。根据CTD（cheapest to deliver）的定义，其余可交割债券要更“贵”一些：

$\sum_{j=1}^{n_i}{c_{i,j}\frac{P(\theta,t_{i,j})}{P(\theta,T)}}\geq F_{\theta}K_{i}+A_{i}$

咱们把上面两个东西写成一个：

$\max_{1\leq i \leq N}( F_{\theta}K_{i}+A_{i}-\sum_{j=1}^{n_i}{c_{i,j}\frac{P(\theta,t_{i,j})}{P(\theta,T)}})=0$

咱们继续处理。全部的 $P( \cdot,\cdot)$ 都是未知的，因为利率随着市场变化瞬息万变，能够认为存在一个利率“率” 使得：

$P(t,u)=exp(-\int_t^uf(t,s)ds)$

那么究竟是怎么变化的？咱们赋予一个dynamic：

$df(t,u)=\mu(t,u)dt+\sigma(t,u)dW_t$

这就是著名的HJM框架。关于HJM能够去参考piterbarg et al.的Interest Rate Modeling Volume I II III 或者brigo et al.的interest rate modeling等，标准文献已经不少了。

到这咱们就完成了建模的过程，剩下的就交给数学了，技术细节能够参考：

Henrard, M. (2006). Bond futures: Delta? no gamma? Quantitative analysis working paper,BIS.
Henrard, M. (2006). A semi-explicit approach to Canary swaptions in HJM one-factor model. Applied Mathematical Finance, 13(1):1–18.

在这个框架下最终也是能够获得semi-explicit 或者explicit的结果的。若是对波动率进行简化，认为各期限波动率为常数，能够获得更为简洁的结果。

对净基差的建模为观察3%附近的期货价格，特别是期货的非线性部分，提供了有力的工具。从波动率的角度出发去衡量期货是不是“贵”的，是一个很是有趣的思路，更为交易订价提供了一个更加科学而精确的视角。

对利率的建模一直是必要的。模型自己并不能帮你赚钱，可是能够为因ctd切换而不知去向或凭空而降的几十万dv01提供完美的解决方案，为究竟是该正套仍是该反套提供更科学的视角，为期货到底被高估仍是低估提供精密的理论依据，为更细微的感知市场提供最好的工具。