《信号与系统学习笔记》—z变换（一）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了本身学习的复习与加深。

1、z变换

一、单位脉冲响应为h[n]的离散时间线性时不变系统对复指数输入的响应应y[n]为

其中，

若z=，这里w为实数(即|z|=1)，则式(10.2)的求和式就是h[n]的离散时间博里叶变换。在更为通常的状况下，当|z|不限制为1的时候，式(10.2)就称为h[n]的z变换。

二、一个离散时间信号x[n]的z变换为

其中z是一个复变量。有时为了方便，也将x[n]的z变换写成Z{x[n]}，而x[n]和它的z变换之间的关系记为

三、为了说明z变换和离散时间博里叶变换之间的关系，现将复变量z表示成极坐标形式为

用r表示z的模，而用w表示它的相角。利用r和w，式(10.3)变成

或等效为

由式(10.6)可知，就是序列x[n]乘以实指数够的博里叶变换，即

指数加权能够随n增长而衰减，也能够随n增长而增加，这取决于r大于1仍是小于1.特别注意到，若r=1，或等效为|z|=1，时(10.3)就变为博里叶变换，即

四、在z变换中是当变换变量z的模为1，即z=时，z变换就演变为博里叶变换。因而，博里叶变换就成为在复数z中，半径为的圆上的z变换，如图10.1所示。

在z平面上，这个圆称为单位圆。

五、为了使z变换收敛，要求x[n]的博里叶变换收敛。对于任何一个具体的序列来讲，能够想到对某些r值，其博里叶变换收敛，而对另外一些r值来讲不收敛。通常来讲，对于某一序列的z变换，存在着某一个z值得范围，对该范围内的z，X(z)收敛。这些值得范围称为收敛域。若是收敛域包括单位圆，则博里叶变换叶收敛。

1）z变换的表述即要求它的代数表示，有要求相应的收敛域。

2）、只要x[n]是实指数或复指数的线性组合，X(z)就必定是有理的。关于极点和零点，老是利用z多项式表示的分母和分子多项式的根。若分子的阶次超过度母的阶次，那么无限远点就有极点，若分子的阶次小于分母的阶次，那么无限远点就有零点。

2、z变换的收敛域

一、性质一；X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

二、性质二；收敛域内不包含任何极点。

三、性质三；若是x[n]是有限长序列，那么收敛域就是一整个z平面，可能除去z=0和/或z=∞。

四、性质四；若是x[n]是一个右边序列，而且|z|=，的圆位于收敛域内，那么|z|>的所有有限z值都必定在这个收敛域内。

五、性质五；若是x[n]是一个左边序列，而且|z|=，的圆位于收敛域内，那么0<》|z|<的所有有限z值都必定在这个收敛域内。

六、性质6；若是x[n]是双边序列，并且|z|=的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中必定是包含|z|=这一圆环的环形区域。

七、性质7；若是x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。

八、性质八；若是x[n]的z变换X(z)是有理的，而且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，也就是半径等于X(x)极点中最大模值的圆的外边。并且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n<0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z=∞。

九、性质九；若是x[n]的z变换X(z)是有理的，而且x[n]是左边序列，那么收敛域就位于z平面内最里层非零极点的里边，也就是半径等于X(x)中出去z=0的极点中最小模值的圆的外边。并且，若x[n]是反因果序列，即x[n]为n>0时等于零的左边序列，那么收敛域也包括z=∞。

3、z逆变换

一、z逆变换求解

式中记为半径为r，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。r放入值可选为使X(z)收敛的任何值；也就是使|z|=r的积分围线位于收敛域内的任何值。

二、对于一个有理z变换，能够首先将其进行部分分式展开，而后逐项求其你变换。嘉定X(z)的部分分式展开式具备以下形式：

X(z)的逆变换就等于式(10.55)中每一项逆变换之和。若X(z)的收敛域位于极点z=ai的外边，那么与式(10.55)中相应项的逆变换就是另方面，如X(z)的收敛域位于极点z=ai的里边，那么对应于这一项的逆变换就是通常来讲，在X(z)的部分分式展开式中，能够包括除了在式(10.55)中的一次项之外的其余项。

三、肯定z逆变换的另外一种是非有用的办法是创建在X(z)幂级数展开的基础上。这个方法直接来自z变换的定义式(10.3)，由于由这个定义可看到，实际上z变换就是涉及z的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数就是序列值x[n]。

3、利用零-极点图对博里叶变换进行稽核求值

一、在离散时间状况下，利用z平面内零极点向量也能对博里叶变换进行稽核求解。在这种状况下，有理函数是在|z|=1的单位圆上进行求值，因此应该考虑从极点和零点到这一单位圆上的向量。

一）、一阶系统

一阶因果离散时间系统的单位脉冲响应具备以下通常形式

它的z变换是

若|a|<1，收敛域就包括单位圆，结果h[n]的博里叶变换收敛等于H(z)。z=。所以一阶系统的频率响应是

式(10.65)的零-极点图，以及对于不一样的a值的模特性和相位特性，如图10.13所示

1）、若是想要求式(10.65)的频率响应，就需以z=来完成对各z值得求值。

2）、频率响应在频率w处的的模就是向量v1的长度与向量v2的长度之比。

3）、频率响应的相位是向量v1相对于实轴的阿基哦度减去向量v2相对于实轴的角度。

4）、从该原点的零点到单位圆的向量v1长度不变且为1，所以对H()的模特性没有任何影响。而该零点对H()的相位的奉献则是该零点向量相对于实轴的角度，能够由图看到它就等于w。

二）、二阶系统

一、二阶系统的单位脉冲响应和频率响应分别由下面两式给出

和

其中0<r<1且0≤≤π。其z变换为

H(z)的极点位于

而且在z=0有二阶零点。H(z)的零-极点图，以及0<<π/2时的零-极点图和对应于不一样a值的频率响应模特性和相位特性如图10.14所示

1）、频率响应的模等于向量v1模的平方除以向量v1和v2模的乘积。因为v1的长度对全部w值都是1，因此频率响应的模就等于两个极点向量v2和v3长度乘积的倒数。

2）、频率响应的相位等于向量v1相对于实轴的角度的两倍减去向量v2和v3的角度之和。

4、z变换的性质

一）、线性性质

一、若

和

则

如同所指出的，线性组合的收敛域至少是R1和R2相重合的部分。对于具备有理z变换的序列，若是的所有极点构成的(也就是说，没有零极点相消)，那么收敛域就必定是各单个收敛域的重叠部分。若是线性部分是这样来构成的，使某些零点的引入抵消掉某些极点，那么收敛域就能够增大。

二）、时移性质

一、若

且

1）、因为乘以所以若n0>0，将会在z=0引入极点，而这些极点能够抵消X(z)在z=0的零点。所以，虽然z=0不是X(z)的一个极点，但却能够是X(z)的一个极点。在这种状况下，X(z)的收敛域就等于X(x)的收敛域，但原点要除去。

2）、若n0<0，将会在z=0引入零点，它能够抵消X(z)在z=0的极点。这样当z=0不是X(z)的一个极点时，但却能够是X(z)的一个零点。在这种状况下，z=∞是X(z)的一个极点，所以X(z)的收敛域就等于X(x)的收敛域，但z=∞要除去。

三）、z域尺度变换

一、若

则

其中|z0|R表明域R的一泓尺度变化。也就是说，若z是X(z)的收敛域内的一点，那么|z0|z就在X(z/z0)的收敛域内。一样，若X(z)有一个极点(或零点)在z=a，那么X(z/z0)就有一个极点(或零点)在z=z0a。

式(10.73)的一个重要的特烈是当时，这时|z0|R=R,而且

式(10.74)的左边相应于乘以复指数序列，而右边能够当作在z平面内的旋转，也就是说，也就是说，所有零极点位置在z平面旋转一个w0的角度，如图10.15所示

四）、时间反转

一、若

则

这就是说，若z0在x[n]的z变换收敛域内，那么1/z0就在x[-n]的z变换的收敛域内。

五）、时间扩展

一、定义为

在这种状况下，若

则

六）、共轭

则

结果，若x[n]是实序列，就可由式(10.80)获得

所以，若X(z)有一个z=z0的极点(或零点)，那么就必定有一个与z0共轭成对的z=z0*的极点(或零点)。

七）、卷积性质

一、若

且

则

八）、z域微分

一、若

则

九）、初值定理

若n<0时x[n]=0，则

对于一个因果序列，初值定理的一个直接结果就是：若是x[0]是有限值，那么就是有限值。结果，将X(z)表示成两个多项式之比，分子多项式的阶次不能大于分母多项式的解析；或者说，零点的个数不能多于极点的个数。

十）、性质小结

5、几个经常使用的z变换对