剑指Offer（java版）：从1到n整数中1出现的次数

时间 2019-11-19

原文原文链接

题目：输入一个整数n，求从1到n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11，和12，1一共出现了5次。html

方法一：不考虑时间效率的解法，靠它拿到Offer有点难：git

若是在面试的时候碰到这个问题，应聘者大多能想到最直观的方法，也就是累加1到n中每一个整数1出现的次数。咱们可疑每次经过对10求余数判断整数的个位数字是否是1.若是这个数字大于10，除以10以后再判断个位数字是否是1.如12，12%10=2，有0个，再12/10=1，而后1%10=1面试

基于这个思路，咱们写出下面的代码：算法

package cglib;spa

public class List1
{
   public int numberOf1BetweenAndN(int n){
        int number = 0;
        for(int i = 1;i<= n;i++){
            number+=numberOf1(i);
            System.out.println("number="+number);
        }
        return number;
    }
    public int numberOf1(int n){
        int number =0;
        while(n!=0){
           System.out.println("进到while");
           System.out.println("n="+n);
           System.out.println("n%10="+(n%10));
            if(n %10 == 1)
                number++;

            n = n/10;

            System.out.println("整除10后n="+n);
        }
        return number;
    }
    public static void main(String[] args){
        int n =12;
        List1 test = new List1();
        System.out.println(test.numberOf1BetweenAndN(n));
    }



    } .net

输出：htm

进到while
n=1
n%10=1
整除10后n=0
number=1
进到while
n=2
n%10=2
整除10后n=0
number=1
进到while
n=3
n%10=3
整除10后n=0
number=1
进到while
n=4
n%10=4
整除10后n=0
number=1
进到while
n=5
n%10=5
整除10后n=0
number=1
进到while
n=6
n%10=6
整除10后n=0
number=1
进到while
n=7
n%10=7
整除10后n=0
number=1
进到while
n=8
n%10=8
整除10后n=0
number=1
进到while
n=9
n%10=9
整除10后n=0
number=1
进到while
n=10
n%10=0
整除10后n=1
进到while
n=1
n%10=1
整除10后n=0
number=2
进到while
n=11
n%10=1
整除10后n=1
进到while
n=1
n%10=1
整除10后n=0
number=4
进到while
n=12
n%10=2
整除10后n=1
进到while
n=1
n%10=1
整除10后n=0
number=5
5blog

从上述思路中，咱们对每一个数字都要作出发和求余运算以求出该数字中1出现的次数。若是输入数字n，n有O(logn)位，咱们须要判断每一位是否是1，那么它的时间复杂度是O(n*logn)。当输入n很是大的时候，须要大量的计算，运算效率不高。面试官不会满意这种算法。get

同理：计算1至n中数字X出现的次数

public class List1
{
   public int numberOf1BetweenAndN(int n,int x){
        int number = 0;
        for(int i = 1;i<= n;i++){
            number+=numberOf1(i,x);
            System.out.println("number="+number);
        }
        return number;
    }
    public int numberOf1(int n,int x){
        int number =0;
        while(n!=0){
           System.out.println("进到while");
           System.out.println("n="+n);
           System.out.println("n%10="+(n%10));
            if(n %10 == x)
                number++;

            n = n/10;

            System.out.println("整除10后n="+n);
        }
        return number;
    }
    public static void main(String[] args){
        int n =12;
        int x=1;
        List1 test = new List1();
        System.out.println(test.numberOf1BetweenAndN(n,x));
    }



    } 数学

方法二：从数字规律着手明显提升时间效率的解法，能让面试官耳目一新

1、1的数目

1. 若是第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10^i-1。如10345，自右至左第4位为0，也就是千位，能出现1的次数由更高位决定，也就是1，万位，10^4-1。

2. 若是第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不只受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10^i-1+（低位数字+1）。

3. 若是第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10^i-1。

2、X的数目

这里的 X∈[1,9] ，由于 X=0 不符合下列规律，须要单独计算。

首先要知道如下的规律：

从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。1,2,3,4,5,6,7,8,9
从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。10,11-19
从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10 ^i ，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10 ^ i−1 次。

这个规律很容易验证，这里再也不多作说明。

接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何获得数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出如今个位，260 次出如今十位，294 次出如今百位，0 次出如今千位。

如今依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，所以任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，由于它们最大的个位数字 3 < X，所以不会包含任何 5。（也能够这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。

而后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，所以任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，所以会包含所有 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也能够这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，所以任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时状况就略微复杂，它们的百位确定是包含 5 的，但不会包含所有 100 个。若是把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也能够这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不只受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。

最后是千位。如今已经没有更高位，所以直接看最大的千位数字 2 < X，因此不会包含任何 5。（也能够这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。

到此为止，已经计算出所有数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，能够看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：

取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10 ^i−1 ，获得基础值 a 。
取第 i 位数字，计算修正值：
1. 若是大于 X，则结果为 a+ 10 ^ i−1 。
2. 若是小于 X，则结果为 a 。
3. 若是等于 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b ，最后结果为 a+b+1 。

相应的代码很是简单，效率也很是高，时间复杂度只有 O( log 10 n) 。

咱们换个角度思考，给定一个N，咱们分析1~N中的数在每一位上出现1的次数的和，看看每一位上"1"出现的个数的和由什么决定。
1位数的状况：在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。
2位数的状况：N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，因此f(N) = 2+4。N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。
由此咱们发现，个位数出现1的次数不只和个位数有关，和十位数也有关，若是个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；若是个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不只和十位数相关，也和个位数相关：若是十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。
3位数的状况：
N=123，个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121。十位出现1的个数为20:10~19,110~119。百位出现1的个数为24:100~123。
咱们能够继续分析4位数，5位数，推导出下面通常状况：假设N，咱们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。

若是百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，好比12013，百位出现1的状况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。
若是百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，好比12213，百位出现1的状况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。
若是百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不只受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的状况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的状况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。

package cglib;

public class jiekou {

   public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {
        if(n<0||x<1||x>9)
            return 0;
        int high,low,curr,tmp,i = 1;
        high = n;
        int total = 0;
        System.out.println("n="+n);
        System.out.println("x="+x);
        while(high!=0){
           System.out.println("while中i="+i);
           System.out.println("while中high="+high);
            high = n/(int)Math.pow(10, i);// 获取第i位的高位
            System.out.println("获取第"+i+"位的高位 high="+high);
            tmp = n%(int)Math.pow(10, i);
            System.out.println("获取第"+i+"位的余数 tmp="+tmp);
            curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位
            System.out.println("获取第"+i+"位 curr="+curr);
            low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位的低位
            System.out.println("获取第"+i+"位的低位 low="+low);
            System.out.println("x="+x);
            if(curr==x){
                total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1;
                System.out.println("curr==x");
                System.out.println("total="+total);
            }else if(curr<x){
                total+=high*(int)Math.pow(10, i-1);
                System.out.println("curr<x");
                System.out.println("total="+total);
            }else{
                total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);
                System.out.println("curr>x");
                System.out.println("total="+total);
            }
            i++;
        }
        return total;
   }


    /**
     * @param args
     */
   public static void main(String[] args) {
       jiekou p=new jiekou();
       System.out.println(p.NumberOfXBetween1AndN_Solution(123,1));
       }
    }

输出：

n=123
x=1
while中i=1
while中high=123
获取第1位的高位 high=12
获取第1位的余数 tmp=3
获取第1位 curr=3
获取第1位的低位 low=0
x=1
curr>x
total=13
while中i=2
while中high=12
获取第2位的高位 high=1
获取第2位的余数 tmp=23
获取第2位 curr=2
获取第2位的低位 low=3
x=1
curr>x
total=33
while中i=3
while中high=1
获取第3位的高位 high=0
获取第3位的余数 tmp=123
获取第3位 curr=1
获取第3位的低位 low=23
x=1
curr==x
total=57
57

或者：

public class Problem32 { public static void main(String[] args) { Problem32 p=new Problem32(); System.out.println(p.countOne(123)); } public long countOne(long n) { long count = 0; long i = 1; long current = 0,after = 0,before = 0; while((n / i) != 0) { current = (n / i) % 10; //当前位数字 before = n / (i * 10); //高位数字 after = n - (n / i) * i; //低位数字 if (current > 1) count = count + (before + 1) * i; else if (current == 0) count = count + before * i; else if(current == 1) count = count + before * i + after + 1; i = i * 10; } return count; } }