怎样计算任一天是星期几

怎样计算任一天是星期几---做者葛勤民

摘要：

　　最多见的公式：

W = [Y-1] + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D

Y是年份数，D是这一天在这一年中的累积天数，也就是这一天在这一年中是第几天。

　　最好用的是蔡勒公式：

W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1

C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和14月来算，这时C和y均按上一年取值。

　　两个公式中的[...]均指只取计算结果的整数部分。算出来的W除以7，余数是几就是星期几。若是余数是0，则为星期日。
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　　星期制度是一种有古老传统的制度。听说由于《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪，第七天休息，因此人们也就以七天为一个周期来安排本身的工做和生活，而星期日是休息日。从实际的角度来说，以七天为一个周期，长短也比较合适。因此尽管中国的传统工做周期是十天（好比王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，便是指官员的工做每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采起了西方的星期制度。

　　在平常生活中，咱们经常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，咱们还想知道历史上某一天是星期几。一般，解决这个方法的有效办法是看日历，可是咱们总不会随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是否是有办法经过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？
　　答案是确定的。其实咱们也经常在这样作。咱们先举一个简单的例子。好比，知道了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出来。咱们能够掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后能够数出5月31日是星期一。其实运用数学计算，能够不用掰指头。咱们知道星期是七天一轮回的，因此5月1日是星期六，七天以后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。一样，5月15日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是1四、21和28，也都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，可是31除以7，余数为2，这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期以后两天。星期六以后两天正是星期一。

　　这个简单的计算告诉咱们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子以前的一个肯定的日子是星期几，拿这一天作为推算的标准，也就是至关于一个计算的“原点”。其次，知道想算的日子和这个肯定的日子之间相差多少天，用7除这个日期的差值，余数就表示想算的日子的星期在肯定的日子的星期以后多少天。若是余数是0，就表示这两天的星期相同。显然，若是把这个做为“原点”的日子选为星期日，那么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。

　　可是直接计算两天之间的天数，仍是难免繁琐。好比1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天，就不是一会儿能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月29日之后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个全年的所有天数；三，从2004年元旦到5月1日通过的天数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之因此要加5，是由于这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，好比第三段，须要把5月以前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第一段须要把7月以后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。因此总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

　　仔细想一想，若是把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个全年，这样一来，第一段时间和第二段时间就能够合并计算，全年的总数正好至关于两个日子的年份差值减一。若是进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日（或者天文学家所使用的公元0年12月31日），这个全年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这样简化以后，就只须计算两段时间：一，这么多全年的总天数；二，想算的日子是这一年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么如今的问题就只有一个：这么多全年里面有多少闰年。这就须要了解公历的置闰规则了。
 
 
　　咱们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。所以，像1600、2000、2400年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。

　　所以，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的全部全年中的闰年数，就等于

[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，

[...]表示只取整数部分。第一项表示须要加上被4整除的年份数，第二项表示须要去掉被100整除的年份数，第三项表示须要再加上被400整除的年份数。之因此Y要减一，这样，咱们就获得了第一个计算某一天是星期几的公式：

W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1)

其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。好比咱们来算2004年5月1日：

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +31+29+31+30+1)
 = 731702，

731702 / 7 = 104528……6，余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

　　上面的公式(1)虽然很准确，可是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔细想一想，其实这个间隔天数W的用处仅仅是为了获得它除以7以后的余数。这启发咱们是否是能够简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语来讲，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样能够计算出准确的星期数。

　　显然，W这么大的缘由是由于公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实，

(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
 = (Y-1) * (7*52+1)
 = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，

这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，所以(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系能够表示为：

(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．

其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7做模数（也就是除数）的状况下≡号两边的数是同余的。所以，彻底能够用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样咱们就获得了那个著名的、也是最多见到的计算星期几的公式：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)

　　这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，由于累积天数D的计算也比较麻烦。是否是能够用月份数和日期直接计算呢？答案也是确定的。咱们不妨来观察一下各个月的日数，列表以下：

月　　份：1月　2月　　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月
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天　　数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

若是把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样咱们就获得另外一张表：

月　　份：1月　2月　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月
------------------------------------------------------------------------
剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30

仔细观察的话，咱们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是由于这种规律的存在，平年和闰年的累积天数能够用数学公式很方便地表达：

 ╭ d；　　　　　　　　　　　　　　　 　（当M＝1）
D = { 31 + d；　　　　　　　　　 　　 （当M＝2） 　　　　　　　　　 (3)
 ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i．　 （当M≥3）

其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年=1。对于M≥3的表达式须要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份以前的全部月份的总天数。这是一个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。好比，对2004年5月1日，有：
 
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
 = 122，

这正是5月1日在2004年的累积天数。

　　假如，咱们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不只仍然符合这个公式，并且由于这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一天，成了d的一部分，因而平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：

D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)

上面计算星期几的公式，也就能够进一步简化成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d．

由于其中的-7和(M-1)*28两项均可以被7整除，因此去掉这两项，W除以7的余数不变，公式变成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

固然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，所以在计算1月和2月的日子的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。好比，2004年1月1日是星期四，用这个公式来算，有：

W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] + 1
 = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
 = 2524；
2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。

　　公式(5)已是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。咱们先来用这个公式算出每一个世纪第一年3月1日的星期，列表以下：

年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
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星期：　4 2
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年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
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星期： 0 5

能够看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如咱们把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期数当作是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，因此能够作这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，咱们能够获得下面的计算每一个世纪第一年3月1日的星期的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)

式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。好比，对于2001年3月1日，C=20，则：

W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
 = 8 - 4
 = 4．

　　把公式(6)代入公式(5)，通过变换，可得：

(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1(mod7)． (7)

所以，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算每一个世纪第一年的日期的星期时，能够用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写出来就是：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)

有了计算每一个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其余各年的日期星期的公式就很容易获得了。由于在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，所以就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法，咱们很容易就能够从式(8)获得一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)

式中，y是年份的后两位数字。

　　若是再考虑到取模运算不是四则运算，咱们还能够把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成只含四则运算的表达式。由于世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有以下关系：

4q + r = C，

其中r便是 C mod 4，所以，有：

r = C - 4q
 = C - 4 * [C/4]． (10)

则

(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
 ＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
 ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)

把式(11)代入(9)，获得：

W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)

这个公式由世纪数减1、年份末两位、月份和日数便可算出W，再除以7，获得的余数是几就表示这一天是星期几，惟一须要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，C和y都按上一年的年份取值。所以，人们广泛认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最先是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-1899）在1886年推导出的，所以通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，式中的[13 * (M+1) / 5]也每每写成[26 * (M+1) / 10]。

　　如今仍然让咱们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒公式，有：

W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
 = -15．

注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便计算，咱们能够给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，好比加上70，获得55。再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致。

　　最后须要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：

W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)

　　这样，咱们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。

出处：http://wenku.baidu.com/view/dcfe0d8b6529647d272852f2.html