【算法提升班】贪婪策略

贪婪策略是一种常见的算法思想，具体是指，在对问题求解时，老是作出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从总体最优上加以考虑，他所作出的是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对全部问题都能获得总体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具有无后效性，即某个状态之前的过程不会影响之后的状态，只与当前状态有关，这点和动态规划同样。

LeetCode 上对于贪婪策略有 73 道题目。咱们将其分红几个类型来说解，截止目前咱们暂时只提供覆盖问题，其余的能够期待个人新书或者以后的题解文章。

覆盖

咱们挑选三道来说解，这三道题除了使用贪婪法，你也能够尝试动态规划来解决。

• 45. 跳跃游戏 II，困难
• 1024. 视频拼接，中等
• 1326. 灌溉花园的最少水龙头数目，困难

覆盖问题的一大特征，咱们能够将其抽象为给定数轴上的一个大区间 I 和 n 个小区间 i[0], i[1], ..., i[n - 1]，问最少选择多少个小区间，使得这些小区间的并集能够覆盖整个大区间。

咱们来看下这三道题吧。

45. 跳跃游戏 II

题目描述

给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。

数组中的每一个元素表明你在该位置能够跳跃的最大长度。

你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。

示例:

输入: [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
  从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳  1  步，而后跳  3  步到达数组的最后一个位置。
说明:

假设你老是能够到达数组的最后一个位置。

思路

贪婪策略，即咱们每次在可跳范围内选择可使得跳的更远的位置，因为题目保证了你老是能够到达数组的最后一个位置,所以这种算法是完备的。

以下图，开始的位置是 2，可跳的范围是橙色的。而后由于 3 能够跳的更远，因此跳到 3 的位置。

以下图，而后如今的位置就是 3 了，能跳的范围是橙色的，而后由于 4 能够跳的更远，因此下次跳到 4 的位置。

写代码的话，咱们用 end 表示当前能跳的边界，对于上边第一个图的橙色 1，第二个图中就是橙色的 4，遍历数组的时候，到了边界，咱们就从新更新新的边界。

图来自 https://leetcode-cn.com/u/win...

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def jump(self, nums: List[int]) -> int:
        n, cnt, furthest, end = len(nums), 0, 0, 0
        for i in range(n - 1):
            furthest = max(furthest, nums[i] + i)
            if i == end:
                cnt += 1
                end = furthest

        return cnt

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

1024. 视频拼接

题目描述

你将会得到一系列视频片断，这些片断来自于一项持续时长为  T  秒的体育赛事。这些片断可能有所重叠，也可能长度不一。

视频片断  clips[i]  都用区间进行表示：开始于  clipsi  并于  clipsi  结束。咱们甚至能够对这些片断自由地再剪辑，例如片断  [0, 7]  能够剪切成  [0, 1] + [1, 3] + [3, 7]  三部分。

咱们须要将这些片断进行再剪辑，并将剪辑后的内容拼接成覆盖整个运动过程的片断（[0, T]）。返回所需片断的最小数目，若是没法完成该任务，则返回  -1 。

示例 1：

输入：clips = [[0,2],[4,6],[8,10],[1,9],[1,5],[5,9]], T = 10
输出：3
解释：
咱们选中 [0,2], [8,10], [1,9] 这三个片断。
而后，按下面的方案重制比赛片断：
将 [1,9] 再剪辑为 [1,2] + [2,8] + [8,9] 。
如今咱们手上有 [0,2] + [2,8] + [8,10]，而这些涵盖了整场比赛 [0, 10]。
示例 2：

输入：clips = [[0,1],[1,2]], T = 5
输出：-1
解释：
咱们没法只用 [0,1] 和 [0,2] 覆盖 [0,5] 的整个过程。
示例 3：

输入：clips = [[0,1],[6,8],[0,2],[5,6],[0,4],[0,3],[6,7],[1,3],[4,7],[1,4],[2,5],[2,6],[3,4],[4,5],[5,7],[6,9]], T = 9
输出：3
解释：
咱们选取片断 [0,4], [4,7] 和 [6,9] 。
示例 4：

输入：clips = [[0,4],[2,8]], T = 5
输出：2
解释：
注意，你可能录制超过比赛结束时间的视频。

提示：

1 <= clips.length <= 100
0 <= clipsi, clipsi <= 100
0 <= T <= 100

思路

贪婪策略，咱们选择知足条件的最大值。和上面的不一样，此次咱们须要手动进行一次排序，实际上贪婪策略常常伴随着排序，咱们按照 clip[0]从小到大进行排序。

如图：

• 1 不能够，所以存在断层
• 2 能够
• 3 不行，由于不到 T

咱们当前的 clip 开始结束时间分别为 s，e。 上一段 clip 的结束时间是 t1，上上一段 clip 结束时间是 t2。

那么这种状况下 t1 其实是不须要的，由于 t2 彻底能够覆盖它：

那什么样 t1 才是须要的呢？如图：

用代码来讲的话就是s > t2 and t2 <= t1

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def videoStitching(self, clips: List[List[int]], T: int) -> int:
        #  t1 表示选取的上一个clip的结束时间
        #  t2 表示选取的上上一个clip的结束时间
        t2, t1, cnt = -1, 0, 0
        clips.sort(key=lambda a: a[0])
        for s, e in clips:
            # s > t1 已经肯定不能够了， t1 >= T 已经能够了
            if s > t1 or t1 >= T:
                break
            if s > t2 and t2 <= t1:
                cnt += 1
                t2 = t1
            t1 = max(t1,e)
        return cnt if t1 >= T else - 1

复杂度分析

• 时间复杂度：因为使用了排序（假设是基于比较的排序），所以时间复杂度为 $O(NlogN)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

1326. 灌溉花园的最少水龙头数目

题目描述

在 x 轴上有一个一维的花园。花园长度为  n，从点  0  开始，到点  n  结束。

花园里总共有  n + 1 个水龙头，分别位于  [0, 1, ..., n] 。

给你一个整数  n  和一个长度为  n + 1 的整数数组  ranges ，其中  ranges[i] （下标从 0 开始）表示：若是打开点  i  处的水龙头，能够灌溉的区域为  [i -  ranges[i], i + ranges[i]] 。

请你返回能够灌溉整个花园的   最少水龙头数目  。若是花园始终存在没法灌溉到的地方，请你返回  -1 。

示例 1：

输入：n = 5, ranges = [3,4,1,1,0,0]
输出：1
解释：
点 0 处的水龙头能够灌溉区间 [-3,3]
点 1 处的水龙头能够灌溉区间 [-3,5]
点 2 处的水龙头能够灌溉区间 [1,3]
点 3 处的水龙头能够灌溉区间 [2,4]
点 4 处的水龙头能够灌溉区间 [4,4]
点 5 处的水龙头能够灌溉区间 [5,5]
只须要打开点 1 处的水龙头便可灌溉整个花园 [0,5] 。
示例 2：

输入：n = 3, ranges = [0,0,0,0]
输出：-1
解释：即便打开全部水龙头，你也没法灌溉整个花园。
示例 3：

输入：n = 7, ranges = [1,2,1,0,2,1,0,1]
输出：3
示例 4：

输入：n = 8, ranges = [4,0,0,0,0,0,0,0,4]
输出：2
示例 5：

输入：n = 8, ranges = [4,0,0,0,4,0,0,0,4]
输出：1

提示：

1 <= n <= 10^4
ranges.length == n + 1
0 <= ranges[i] <= 100

思路

贪心策略，咱们尽可能找到可以覆盖最远（右边）位置的水龙头，并记录它最右覆盖的土地。

• 咱们使用 furthest[i] 来记录通过每个水龙头 i 可以覆盖的最右侧土地。
• 一共有 n+1 个水龙头，咱们遍历 n + 1 次。
• 对于每次咱们计算水龙头的左右边界，[i - ranges[i], i + ranges[i]]
• 咱们更新左右边界范围内的水龙头的 furthest
• 最后从土地 0 开始，一直到土地 n ，记录水龙头数目

代码

代码支持：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def minTaps(self, n: int, ranges: List[int]) -> int:
        furthest, cnt, cur = [0] * n, 0, 0

        for i in range(n + 1):
            l = max(0, i - ranges[i])
            r = min(n, i + ranges[i])
            for j in range(l, r):
                furthest[j] = max(furthest[j], r)
        while cur < n:
            if furthest[cur] == 0: return -1
            cur = furthest[cur]
            cnt += 1
        return cnt

复杂度分析

• 时间复杂度：时间复杂度取决 l 和 r，也就是说取决于 ranges 数组的值，假设 ranges 的平均大小为 Size 的话，那么时间复杂度为 $O(N \* Size)$。
• 空间复杂度：咱们使用了 furthest 数组， 所以空间复杂度为 $O(N)$。

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