Q/Z

本文将会总结阿贝尔群$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $的一些重要性质。

先从这个群的起源开始提及。$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $能够从$\mathbb{Z} $的内射消解$0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0$获得，而由$\mathbb{Z} $是一个Dedekind整环，咱们马上获得$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $是内射$\mathbb{Z} $-模。更加剧要的是，它是一个余分离子：

定义 一个可除阿贝尔群$G$若是对每个素数$p$都包含一个$p$阶元，则$G$被称做一个余分离子。

余分离子在刻画平坦模上起着重要的做用。其做用体如今下面这个命题中。

命题 一个右$R$-模$A$若是可以使$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C)$是内射左$R$-模，其中$C$是一个余分离子，那么$A$是平坦模。

为了证实这个命题，咱们先引入一个简单的引理：

引理 假设$G$是一个余分离子，$H$是一个阿贝尔群，那么对于任意的$h\in H\setminus\{0\} $，存在一个$\varphi\in\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (H,G)$使得$\varphi (h)\neq 0$.

证实 因为$G$含有全部素数阶元，所以对$H$中的任意元素$h$，老是存在一个从$\langle h\rangle $到$G$的一个同态，再由$G$是内射模，咱们马上获得所需结论。$\square $

命题的证实 对给定的$R$-模正合列$0\to D\to B\to E\to 0$，因为$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C)$是内射左$R$-模，所以有正合列$0\to\mathrm{Hom}_R (D,\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C) )\to\mathrm{Hom}_R (B,\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C) )\to\mathrm{Hom}_R (E,\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C) )\to 0$。由$\mathrm{Hom} $函子的基本定理有正合列$0\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (D\otimes A,C)\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (B\otimes A,C)\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (E\otimes A,C)\to 0$。因为$C$是内射阿贝尔群，所以这个正合列就蕴含了正合列$0\to D\otimes A\to B\otimes A\to E\otimes A\to 0$. $\square $

由此咱们已然获得了平坦模的一个判别定理，也所以，模$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C)$称为模$A$的一个特征模。关于这一些结论的最终结果是：

引理（平坦判别引理） 右模$A$是平坦的当且仅当对任意有限生成左理想$I$，$A\otimes I\cong AI$.

这个引理就是上述命题的直接推论，所以证实略。

从上面的讨论咱们知道，阿贝尔群$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $是内射$\mathbb{Z} $-模而且其对全部素数都包含一个素数阶元，所以它能够用于“提取”一个阿贝尔群中的挠元素。

命题 若$G$是挠阿贝尔群，那么$\mathrm{Hom} (G,\mathbb{Q} /\mathbb{Z} )\cong G$.

证实略。