从斐波那契数列谈谈代码的性能优化

根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），
1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽恰好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。
在西方，最早研究这个数列的人是比萨的列奥那多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci），
他描述兔子生长的数目时用上了这数列:

• 第一个月初有一对刚诞生的兔子
• 第二个月以后（第三个月初）它们能够生育
• 每个月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
• 兔子永不死去

假设在n月有兔子总共a对，n+1月总共有b对。在n+2月一定总共有a+b对：

由于在n+2月的时候，前一月（n+1月）的b对兔子能够存留至第n+2月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于全部在n月就已存在的a对

费波那契数列由0和1开始，以后的费波那契系数就是由以前的两数相加而得出:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

若是用数学语言来描述大概是下面这个样子：

$$F_0 = 0$$

$$F_1 = 1$$

$$Fn = F(n-1) + F_(n-2)$$

递归求解

学过编程的人，第一反应确定是用递归求解：

def fib(n):
    assert n >= 0, 'input invalid'
    return n if n<=1 else fib(n-1) + fib(n-2)复制代码

function fib(n) {
    return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}复制代码

递归的好处就是代码清晰明了，写起来干净利索，丝毫没有拖泥带水的感受

这种递归求解的方法的过程能够简化为以下图所示的二叉树：

斐波那契二叉树

总的计算量近似能够等于高度为n-1的二叉树的节点总数，因此它的时间复杂度为O(2^n)

下面是我统计不一样语言用递归算法求解斐波那契数列第41项所需的时间：

fibonacci_speed_compare

ps：这里直接用的系统自带的time命令来统计的运行时间等信息

为何不建议使用递归来求解

因为龟叔认为程序员根本用不到递归，因此一直拒绝为python加上尾递归优化，甚至当递归深度超过1000时，直接抛出RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
具体内容请参见：Tail Recursion Elimination

那篇09年的博客里是这样说的:

我不认为递归是编程的基础。递归是一些计算机科学家们，尤为是那些热爱Scheme （lisp的一支）和喜欢用‘cons’ 来教表头表尾和递归的人们。
可是对我（Guido）来讲，递归只是一些为基础数学研究而存在的理论手段（例如分形几何学），而不是平常的编程工具。

Python的哲学是“作一件事情有且只有一种方法”（There should be one-- and preferably only one --obvious way to do it.）
龟叔坚持不给Python加上尾递归的优化偏偏体现了这种哲学，这个设计哲学不只减轻了人们在开发时的认知负担和选择成本，对于提升开发效率是颇有帮助的。
同时，这个特色使得不一样的人用Python写出来的代码不至于相差很大，这对于团队合做也是颇有用的。

递归转化为非递归求解

因此咱们的斐波那契数列固然不能直接用递归求解啦，比较常见的思路是把递归改成递推，把斐波那契的前两项先初始化为数组，
而后根据f(n) = f(n-1) + f(n-2)用循环一次算出后面的每一项，这种算法的时间复杂度为O(n)。
我在个人电脑上测了一下，下面这段代码求第41项只用了0.02秒。

def fast_fib(n):
    f = [0, 1]
    for i in range(2, n+1):
        f.append(f[i-1] + f[i-2])
    return f[n]复制代码

比较一下递归法和递推法：

两者都用了分治的思想——把目标问题拆为若干个小问题，利用小问题的解获得目标问题的解。
两者的区别实际上就是普通分治算法和动态规划的区别。

问题结束了吗

其实还有一个更加巧妙的办法（利用通项公式求解除外）

咱们先把斐波那契数列中相邻的两项：F(n)和F(n - 1)写成一个2x1的矩阵，而后对其进行变形：

继续推导能够获得：

利用矩阵来运算的话，整个算法的时间复杂度是O(log n)，空间复杂度是O(1)

斐波那契数列通项公式的推导也是个颇有意思的题目，能够利用生成函数来推导，这里就不展开了

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