PTA_数据结构学习与实验指导_题解_2-2.5 整数分解为若干项之和

基础实验2-2.5整数分解为若干项之和

将一个正整数N分解成几个正整数相加，能够有多种分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。编程求出正整数N的全部整数分解式子。
输入格式：
每一个输入包含一个测试用例，即正整数N (0<N≤30)。
输出格式：
按递增顺序输出N的全部整数分解式子。递增顺序是指：对于两个分解序列N​1​​={n​1​​,n​2​​,⋯}和N​2​​={m​1​​,m​2​​,⋯}，若存在i使得n​1​​=m​1​​,⋯,n​i​​=m​i​​，可是n​i+1​​<m​i+1​​,则N​1​​序列一定在N​2​​序列以前输出。每一个式子由小到大相加，式子间用分号隔开，且每输出4个式子后换行。
输入样例：

7

输出样例1：

7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2
7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3
7=2+5;7=3+4;7=7

题目：基础实验2-2.5 整数分解为若干项之和 (20分)

算法分析

 看到这题第一反应是分治。很像全排列问题，先写出第一项，再写出剩下的数的分解项。一块儿来分析步骤。
 首先假设咱们要求 $F(4)$, 即写出 $n=4$ 的全部分解项。那么咱们能够先写出第 1 位的分解项的全部可能。即 $k_1=1,2,3,4$。对于每一个 $k_1$，咱们只需求解它的子问题 $F(n-k_1)$ 便可。重复以上步骤，可得一棵结果树：

 因为题目中要求结果序列升序排列，因此咱们要去除重复状况与降序状况，分析后发现：

1. 对于重复状况，咱们每次递归只须要取到 $n$ 的一半，即 $\lfloor\frac n2\rfloor$ 即可。
2. 对于降序状况，咱们要保证 $k_{i-1}<=k_i$ 。

整理一下，可得：处于区间 $[0,k_{i-1}-1]\bigcup(\lfloor\frac n2\rfloor,n)$ 的状况必须舍去，咱们只须要区间 $[k_{i-1},\lfloor\frac n2\rfloor]\bigcup\{n\}$ 即可。对于 $F=4$ 的状况，咱们能够看作是 $F(5)=1+F(4)$ ,可得 $k_{i-1}=1$,带入刚才推导出的公式得第 1 位的分解项的全部值为 $i=1,2,4$。
 对于上述全部i，问题都被分解成了：对应的 $k_i$ 与 $F(n-k_i)$ 。递归这个过程，获得一棵以下的树：

  递归公式也不难写出来：
$$Recursion：\begin{cases}n==0, （递归基）\\F(n)=k_i+F(n-k_i),\ (i\in[k_{i-1},\lfloor\frac n2\rfloor]\bigcup\{n\})\end{cases}$$

 相信看到这里不少同窗已经能用DFS解出来了，估计核心代码在六、7行左右。可是看到几十层的递归栈······打扰了。笔者决定再推一下递推式，毕竟性能快好多不是。
 PS.笔者数学巨烂，下面的推导过程不是很容易懂，正在研究2.0版本...

 下面根据递归式去推导递推。

 显然，F(n)的分解式不会超过 $n$ 项，也就是第一次DFS到底时， $\underbrace{1+1+1+···+1}_{n个1}$这种状况，设为序列U。咱们从这种状况开始反推。因为公式为 $F(n)=k_i+F(n-k_i)$, 将序列U末尾2位代入公式，得 :

$$\begin{cases}k_{n-1}=1, \\n-k_{n-1}=n-1=1\Rightarrow n=2\end{cases}$$

此时再断定有无处于区间 $[k_{n-1},\lfloor\frac n2\rfloor]\bigcup\{n\}$ 的其余 $k_{n-1}$，有的话每次只须要处理比当前 $k_{n-1}$ 大 1 的状况，即若是 $j=\lfloor\frac n2\rfloor-k_{n-1}>0$，进行j次循环分解，每次执行 $n-=k_i+1$ ，遇到逆序状况则退出循环，最后存留的 $n$ 即为最后一位的值。与递归相反，整个递推过程当n=30时天然结束递归了。

代码

 递归的代码网上都是，笔者就不传了，这边给出非递归的代码，应该是性能一致的状况下代码行数最少的版本了吧。看到其余博主好像基本上都用goto来实现非递归的，未免也太...

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n = 0, a[31] = {0};
    scanf("%d", &n);
    for(int i=0; i<n; i++){
        a[i] = 1;
    } 
    int pos = n-1, temp = 0, cnt = 0;
    while(pos>=0){
        printf("%d=", n);
        for(int i=0; i<=pos; i++){
            if(i==pos){
                printf("%d", a[i]);
            }else{
                printf("%d+",a[i]);
            }
        }
        if(++cnt%4 == 0){
            printf("\n");
            cnt=0;
        }else{
            if(pos!=0) printf(";");
        }
        if(pos==0) break;
        int sum = a[pos] + a[pos-1];
        a[pos--] = 0;
        temp = a[pos] + 1;
        int j = (double)sum/2;
        int k = j - a[pos];
        while(k-->0){
            if(sum-temp < temp) break;
            sum -= temp;
            a[pos++] = temp;
        }
        a[pos] = sum;
    }
    return 0;
}

小结

 涉及到复杂一些的递推递归DP回溯搜索的算法，作的时候很快，但给别人讲我仍是说不明白...啊我好菜...