关于<<算法导论>>上的主定理（Master Theorem）的证实

以前学习《算法导论》关于主定理一章，它的证实是很概略的，网上关于主定理证实的材料很多，可是不少都只局限于在b的幂上的证实，将证实扩展到全体整数的论述至关少。本人查找了很多资料后在这里找到了一篇相对完整的证实(点击这里)，但细细读下来却发现它仍是有一些瑕疵，所以打算本身补完整个证实，但愿能对之后学习算法导论的同窗有所帮助。因为本人数学水平不行，若是发现证实有错误或有地方须要补充，欢迎联系我youth7@163.com

 

1，证实的整体思路

首先，求出递归式的非递归形式，即用多个多项式的和将递归式表示出来

接着，分析这个多项式的和，而后证实之。(证实内部又要分开两个阶段进行)

总之，求出递归式的和式，是证实的开始的基础，全部后续的证实，都要基于这个和式展开的。

 

2，递归式的和

首先画出递归树

这里介绍一下几个变量是怎么来的

1）树的高度h

这里须要重点理解的是，从这个和式咱们能够直观地感觉到，若是两个部分中谁的阶数较高，则谁决定和式的上界。所以接着的具体证实就是围绕着这两部分的大小关系展开的。咱们有如下几种状况：

(留意f(n)是划分当前问题的代价，也是非叶子节点的代价。 是全部叶子节点的代价，即基本状况的代价的和)

1）若是第一部分比第二部分的阶数要高，这意味着递归树的总代价由叶子的代价决定

2）若是两部分相等，这意味着递归树的总代价分布均匀，由叶子节点和其它节点共同决定。

3）若是第二部分阶数比第一部分要高，这意味着递归树的总代价由内层叶子决定，也便是说，划分问题的代价决定递归树的总代价

理解三种情形的现实意义很重要，它能帮助咱们清晰体会到递归式的本质

3，证实的第1阶段

第一阶段的证实并非在全体天然数上进行的，而是将n定义在b的幂上面，即 ,如下是证实过程

一阶段状况1

一阶段状况2

一阶段状况3

综合上述，第一阶段证实完毕

4，证实的第2阶段

第二阶段是在第一阶段的基础上，将主定理的定义域由 扩展到从全体天然数上，可是有两点必须注意：

二阶段状况1

二阶段状况2

二阶段状况3

5，扩展

咱们能够看到，其实主定理是不能覆盖全部状况的，主定理的本质是递归式，递归式的求解有很长历史，算法导论的本章注记中谈到了Akra-Bazzi方法(我的认为是一种关于递归式的广泛性解法)，有兴趣能够参考一下附录参考资料228，这种方法可以解决任何递归问题。

Tom Leighton. Notes on better master theorems for divide-and-conquer recurrences. Class notes. Available at http://citeseer.ist.psu.edu/252350.html, October 1996.

因为网页编辑器不支持公式，只能贴图片，完整高清版已经上传新浪资料，有须要能够自行搜索下载，但愿这个证实不会误导各位朋友。

最近发现新浪资料已经暂时关闭了，悲剧啊，上传百度文档的话又不能识别公式，有推荐的地方吗？