个人笔记之斐波那契数列

青蛙跳台阶：

一只青蛙一次能够跳上一级台阶也能够一次跳上两级的台阶， 如今有一个n级的台阶，问青蛙有多少种跳法？

反向思考：

要想跳上第 n 级台阶，该怎么跳？

答：要么从第 n−1 级台阶跳一级上来，要么从第 n−2 级台阶跳两级上来，再无他法。

所以，令 f(n) 表示从第一级台阶跳上第 n 级台阶有跳法总数。则有以下递推公式：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

这很明显就是斐波那契数列嘛！那么问题就简单了，代码以下：

public int JumpFloor(int n) {
	if (n < 1) {return -1;}
	if (n == 1) {return 1;}
	if (n == 2) {return 2;}
	int result = 0, temp1 = 1, temp2 = 2, count = 0;
	while (count != n - 2) {//由于count==1的时候，result是3级时的结果，以此类推，n级时，count==n-2
		result = temp1 + temp2;
		temp1 = temp2;
		temp2 = result;
		count++;
	}
	return result;
}复制代码

变形青蛙跳台阶：

一只青蛙一次能够跳上1级台阶，也能够跳上2级……它也能够跳上n级。 求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

一样反过来思考：

跳上第n阶台阶，有多少种跳法？

答：能够从n-1阶跳上来，也能够从n-2阶跳上来，也能够从n-3阶跳上来……能够从第1阶跳上来。则：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…f(1)

同理：

f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+…f(1)

综上：

f(n)=2f(n−1)=4f(n−2)=8f(n−3)=...

即：

f(n)=2f(n−1)=2^2f(n−2)=2^3f(n−3)=...=2^(n−1)f(n−(n−1))=2^(n−1)f(1)

由于 f(1)=1，因此 f(n)=2^(n-1)。

public static int JumpFloorII(int n) {
    int result=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        result=result*2;
    }
    return result;
}复制代码

矩形覆盖问题：

咱们能够用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

若第一个矩形竖着填充，那么问题就变成了求填充2*（n-1）大矩形的方法数

若第一个矩形横着填充，那么它下面的两个格子只能一样横着填充，问题就变成了求填充2*（n-2）大矩形的方法数

若令f(n)表示填充n*2的大矩形则：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

一样这也是一个斐波那契数列，解决代码和第一个问题同样；

斐波那契数列原问题：

解法以下：

// 解法1：算法简洁但效率较低（不推荐）
public int Fibonacci(int n,String mark) {
    if(n<=0){
    return 0;
    }
    if(n==1){
    return 1;
    }
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
// 解法2：思路清晰且效率高
public static int Fibonacci(int n) {
	if (n <= 0) {
     return 0;
	}
	if (n == 1) {
     return 1;
	}
	int result = 0, temp1 = 0, temp2 = 1, count = 0;
	while (count != n - 1) {
		result = temp1 + temp2;
		temp1 = temp2;
		temp2 = result;
		count++;
	}
	return result;
}复制代码