【转载】常见十大经典排序算法及C语言实现【附动图图解】

时间  2019-11-17
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注意：算法

原文中的算法实现都是基于JS，本文所有修改成C实现，而且统一排序接口，另外增长了一些描述信息，后面会持续更新本文。shell

0、算法概述

0.1 算法分类

十种常见排序算法能够分为两大类：编程

  • 比较类排序：经过比较来决定元素间的相对次序，因为其时间复杂度不能突破O(nlogn)，所以也称为非线性时间比较类排序。
  • 非比较类排序：不经过比较来决定元素间的相对次序，它能够突破基于比较排序的时间下界，以线性时间运行，所以也称为线性时间非比较类排序。

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0.2 算法复杂度

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0.3 相关概念

  • 稳定：若是a本来在b前面，而a=b，排序以后a仍然在b的前面。
  • 不稳定：若是a本来在b的前面，而a=b，排序以后 a 可能会出如今 b 的后面。
  • 时间复杂度：对排序数据的总的操做次数。反映当n变化时，操做次数呈现什么规律。
  • 空间复杂度：是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量，它也是数据规模n的函数。

0.4 在线学习

这里提供两个算法可视化网站，方便理解这些排序算法：api

https://visualgo.net/en/sorting数组

https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/ComparisonSort.html数据结构

两个连接均可以本身控制元素的移动和流程，十分方便。编程语言

推荐第一个连接，能够本身设定须要排序的元素，同时能够查看每一次移动相应的代码片断。不只如此，这个网站还提供了不少其余常见算法的可视化模型，具体包括以下这些算法：ide

2019-11-05_213528.png

enjoy!函数

另外提供一个，深刻浅出的算法和数据结构教程：

https://www.programiz.com/dsa

文章浅显易懂，而且提供了常见算法的大部分语言实现。同时附带大量图解，在争取理解算法的基础上，再来具体使用某个编程语言来实现这个算法。

一、冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，若是它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工做是重复地进行直到没有再须要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是由于越大的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的末尾

1.1 算法描述

  • 比较相邻的元素。若是第一个比第二个大，就交换它们两个；
  • 对每一对相邻元素做一样的工做，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
  • 针对全部的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
  • 重复步骤1~3，直到排序完成。

1.2 动图演示

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1.3 代码实现

//冒泡排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b){
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}
void sort(int size,int arr[]){
    for(int i =1;i<size ;i++){
        for(int j=1;j<size-i+1;j++){
            if(arr[j]<arr[j-1]){
                swap(arr+j-1,arr+j);
            }
        }
    }
}

void show(int size,int arr[]){
    for(int i=0;i<size;i++){
        if(i!=0){
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main(){
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]={2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

二、选择排序（Selection Sort）

选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。它的工做原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，而后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，而后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到全部元素均排序完毕。

2.1 算法描述

n个记录的直接选择排序可通过n-1趟直接选择排序获得有序结果。具体算法描述以下：

  • 初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空；
  • 第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(i..n）。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R[i+1..n)分别变为记录个数增长1个的新有序区和记录个数减小1个的新无序区；
  • n-1趟结束，数组有序化了。

2.2 动图演示

img　　

2.3 代码实现

//选择排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}
void sort(int size,int arr[]) {
    int min;
    for(int i =0; i<size ; i++) {
        min = i;
        for(int j = i;j<size;j++){
            if(arr[j]<arr[min]){
                min = j;
            }
        }
        swap(arr+min,arr+i);
    }
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

2.4 算法分析

表现最稳定的排序算法之一，由于不管什么数据进去都是O(n^2)的时间复杂度，因此用到它的时候，数据规模越小越好。惟一的好处可能就是不占用额外的内存空间了吧。理论上讲，选择排序可能也是平时排序通常人想到的最多的排序方法了吧。

三、插入排序（Insertion Sort）

插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。它的工做原理是经过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

3.1 算法描述

通常来讲，插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述以下：

  1. 从第一个元素开始，该元素能够认为已经被排序；

  2. 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；

  3. 若是该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；

  4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；

  5. 将新元素插入到该位置后；

  6. 重复步骤2~5。

3.2 动图演示

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3.2 代码实现

//插入排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}
void sort(int size,int arr[]) {
    int i,j;
    for (i = 1; i < size; i++) {
        int tmp = arr[i];
        for (j = i; j > 0 && arr[j - 1] > tmp; j--) {
            arr[j] = arr[j - 1];
        }
        arr[j] = tmp;
    }
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

3.4 算法分析

插入排序在实现上，一般采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），于是在从后向前扫描过程当中，须要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

简单来讲就像摸扑克牌同样，抓一张牌，插到手中牌的合适的位置，这就是插入排序。

四、希尔排序（Shell Sort）

1959年Shell发明，第一个突破O(n^2)的排序算法，是简单插入排序的改进版。它与插入排序的不一样之处在于，它会优先比较距离较远的元素。希尔排序又叫缩小增量排序。

4.1 算法描述

先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，具体算法描述：

  • 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
  • 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；
  • 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列做为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

4.2 动图演示

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4.3 代码实现

//希尔排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}
void sort(int size,int arr[]) {
    for (int gap = size/2; gap > 0; gap /= 2) {
        for (int i = gap; i < size; i += 1) {
            int temp = arr[i];
            int j;
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap)
                arr[j] = arr[j - gap];
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

4.4 算法分析

　

希尔排序，是把序列按照下标的必定增量分组，而后对每组进行插入排序。而后让增量逐渐减小，当增量为1时，整个序列刚好被分为一组，算法结束。

什么意思呢，就是说首先肯定一个增量，假如增量是4，那么a[0],a[4],a[8]会被分为一组，a[1],a[5],a[9]会被分为一组，a[2],a[6],a[10]被分为一组，a[3]....而后每一个组各自进行插入排序，排序后每一个组就是有序的，而后减小增量，从新分组、排序。。。直到增量为1。希尔排序经过这种策略使得整个数组在初始阶段达到从宏观上看基本有序，小的基本在前，大的基本在后。当增量为1的时候，这些序列大多数状况下已经基本有序，只须要进行微调便可。

希尔排序的核心在于间隔序列的设定。既能够提早设定好间隔序列，也能够动态的定义间隔序列。动态定义间隔序列的算法是《算法（第4版）》的合著者Robert Sedgewick提出的。

五、归并排序（Merge Sort）

归并排序是创建在归并操做上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个很是典型的应用。将已有序的子序列合并，获得彻底有序的序列；即先使每一个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。

5.1 算法描述

  • 把长度为n的输入序列分红两个长度为n/2的子序列；
  • 对这两个子序列分别采用归并排序；
  • 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

5.2 动图演示

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5.3 代码实现

//归并排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}

void merge(int arr[], int l, int m, int r)
{
    int i, j, k;
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 =  r - m;

    int L[n1], R[n2];

    for (i = 0; i < n1; i++)
        L[i] = arr[l + i];
    for (j = 0; j < n2; j++)
        R[j] = arr[m + 1+ j];

    i = 0;
    j = 0;
    k = l;
    while (i < n1 && j < n2)
    {
        if (L[i] <= R[j])
        {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        }
        else
        {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }

    while (i < n1)
    {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }

    while (j < n2)
    {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}

void mergeSort(int arr[], int l, int r)
{
    if (l < r)
    {
        int m = l+(r-l)/2;

        mergeSort(arr, l, m);
        mergeSort(arr, m+1, r);

        merge(arr, l, m, r);
    }
}

void sort(int size,int arr[]) {
    mergeSort(arr,0,size-1);
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

5.4 算法分析

归并排序是一种稳定的排序方法。和选择排序同样，归并排序的性能不受输入数据的影响，但表现比选择排序好的多，由于始终都是O(nlogn）的时间复杂度。代价是须要额外的内存空间。

六、快速排序（Quick Sort）

快速排序的基本思想：经过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另外一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

6.1 算法描述

快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述以下：

  • 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
  • 从新排序数列，全部元素比基准值小的摆放在基准前面，全部元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数能够到任一边）。在这个分区退出以后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操做；
  • 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

6.2 动图演示

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6.3 代码实现

//快速排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}
int partition (int arr[], int low, int high) {
    int pivot = arr[high];
    int i = (low - 1);
    for (int j = low; j <= high- 1; j++) {
        if (arr[j] <= pivot) {
            i++;
            swap(&arr[i], &arr[j]);
        }
    }
    swap(&arr[i + 1], &arr[high]);
    return (i + 1);
}
void quickSort(int arr[], int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = partition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}

void sort(int size,int arr[]) {
    quickSort(arr,0,size-1);
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

七、堆排序（Heap Sort）

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似彻底二叉树的结构，并同时知足堆积的性质：即子结点的键值或索引老是小于（或者大于）它的父节点。

7.1 算法描述

  • 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
  • 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时获得新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且知足R[1,2…n-1]<=R[n]；
  • 因为交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，所以须要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，而后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，获得新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

7.2 动图演示

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7.3 代码实现

//堆排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}

//创建堆
void heapify(int arr[], int n, int i)
{
    int largest = i; // 将最大元素设置为堆顶元素
    int l = 2*i + 1; // left = 2*i + 1
    int r = 2*i + 2; // right = 2*i + 2

    // 若是 left 比 root 大的话
    if (l < n && arr[l] > arr[largest])
        largest = l;

    // I若是 right 比 root 大的话
    if (r < n && arr[r] > arr[largest])
        largest = r;

    if (largest != i)
    {
        swap(arr+i, arr+largest);

        // 递归地定义子堆
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

void sort(int size,int arr[]) {
    // 创建堆
    for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, size, i);

    // 一个个从堆顶取出元素
    for (int i=size-1; i>=0; i--)
    {
        swap(arr, arr+i);
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

八、计数排序（Counting Sort）

计数排序不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 做为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有肯定范围的整数。

8.1 算法描述

  • 找出待排序的数组中最大和最小的元素；
  • 统计数组中每一个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；
  • 对全部的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；
  • 反向填充目标数组：将每一个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1。

8.2 动图演示

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8.3 代码实现

//计数排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}
void sort(int size,int arr[]) {
    int output[10];
    int max = arr[0];
    for (int i = 1; i < size; i++) {
        if (arr[i] > max)
            max = arr[i];
    }
    // The size of count must be at least the (max+1) but
    // we cannot assign declare it as int count(max+1) in C as
    // it does not support dynamic memory allocation.
    // So, its size is provided statically.
    int count[10];
    for (int i = 0; i <= max; ++i) {
        count[i] = 0;
    }
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        count[arr[i]]++;
    }
    for (int i = 1; i <= max; i++) {
        count[i] += count[i - 1];
    }
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        output[count[arr[i]] - 1] = arr[i];
        count[arr[i]]--;
    }
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        arr[i] = output[i];
    }
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

8.4 算法分析

计数排序是一个稳定的排序算法。当输入的元素是 n 个 0到 k 之间的整数时，时间复杂度是O(n+k)，空间复杂度也是O(n+k)，其排序速度快于任何比较排序算法。当k不是很大而且序列比较集中时，计数排序是一个颇有效的排序算法。

九、桶排序（Bucket Sort）

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的肯定。桶排序 (Bucket sort)的工做的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每一个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。

9.1 算法描述

  • 设置一个定量的数组看成空桶；
  • 遍历输入数据，而且把数据一个一个放到对应的桶里去；
  • 对每一个不是空的桶进行排序；
  • 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。

9.2 图片演示

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9.3 代码实现

//桶排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}

int getMax(int array[], int size) {
    int max = array[0];
    for (int i = 1; i < size; i++)
        if (array[i] > max)
            max = array[i];
    return max;
}
void sort(int size,int arr[]) {
    // The size of bucket must be at least the (max+1) but
    // we cannot assign declare it as int bucket(max+1) in C as
    // it does not support dynamic memory allocation.
    // So, its size is provided statically.
    int bucket[10];
    const int max = getMax(arr, size);
    for (int i = 0; i <= max; i++) {
        bucket[i] = 0;
    }
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        bucket[arr[i]]++;
    }
    for (int i = 0, j = 0; i <= max; i++) {
        while (bucket[i] > 0) {
            arr[j++] = i;
            bucket[i]--;
        }
    }
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

9.4 算法分析

桶排序最好状况下使用线性时间O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，由于其它部分的时间复杂度都为O(n)。很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。

十、基数排序（Radix Sort）

基数排序是按照低位先排序，而后收集；再按照高位排序，而后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。

10.1 算法描述

  • 取得数组中的最大数，并取得位数；
  • arr为原始数组，从最低位开始取每一个位组成radix数组；
  • 对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特色）；

10.2 动图演示

img

10.3 代码实现

//基数排序
#include<stdio.h>
void swap(int *a,int *b) {
    int tmp =*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}

int getMax(int array[], int n) {
    int max = array[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
        if (array[i] > max)
            max = array[i];
    return max;
}
void countingSort(int array[], int size, int place) {
    int output[size + 1];
    int max = (array[0] / place) % 10;
    for (int i = 1; i < size; i++) {
        if (((array[i] / place) % 10) > max)
            max = array[i];
    }
    int count[max + 1];
    for (int i = 0; i < max; ++i)
        count[i] = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++)
        count[(array[i] / place) % 10]++;
    for (int i = 1; i < 10; i++)
        count[i] += count[i - 1];
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        output[count[(array[i] / place) % 10] - 1] = array[i];
        count[(array[i] / place) % 10]--;
    }
    for (int i = 0; i < size; i++)
        array[i] = output[i];
}
void sort(int size,int arr[]) {
    int max = getMax(arr, size);
    for (int place = 1; max / place > 0; place *= 10)
        countingSort(arr, size, place);
}

void show(int size,int arr[]) {
    for(int i=0; i<size; i++) {
        if(i!=0) {
            printf(" ");
        }
        printf("%d",arr[i]);
    }
}

int main() {
    int a=1,b=2;
    swap(&a,&b);
    printf("a=%d b=%d\n",a,b);
    int arr[10]= {2,1,4,3,7,5,6,8,9,0};
    show(10,arr);
    sort(10,arr);
    printf("\n");
    show(10,arr);
}

10.4 算法分析

基数排序基于分别排序，分别收集，因此是稳定的。但基数排序的性能比桶排序要略差，每一次关键字的桶分配都须要O(n)的时间复杂度，并且分配以后获得新的关键字序列又须要O(n)的时间复杂度。假如待排数据能够分为d个关键字，则基数排序的时间复杂度将是O(d*2n) ，固然d要远远小于n，所以基本上仍是线性级别的。

基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中k为桶的数量。通常来讲n>>k，所以额外空间须要大概n个左右。

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