神奇的动归状态转移方程——最优子序列

最优子序列问题：

给定一个序列，求和最大的连续子序列(由于序列中会有负值存在)。

一些朴素算法就再也不说了，仍是说说DP。

考虑待查序列a[1...n]，定义b[i]为序列a[1...i]的最大后缀，因而乎有了以下动归方程：

         b[i]=max{ b[i-1]+a[i] , a[i] } 

为何呢？针对b[i-1]考虑仅有的两种状况：1).若b[i-1]>0，那么a[1...i]的最大后缀必然是a[i]+b[i-1]。2).若b[i-1]<=0，固然a[1...i]的最大后缀就是a[i]了！

如今考虑b[1...n]，由于b[i]是a[1...i]的最大后缀的和，那么a[1...n]的最大子序列必然是b[i]中的一个(由于最大子序列必然是a[1...n]某个前缀串的后缀串)，显然是b[i]中的最大值！

接下来就是一次扫描计算b[1...n]，而后找出最大的就OK了！

原理很简单，不过这个DP的动态转移方程……为何动态规划里的状态转移方程老是那么神奇???!!!

代码以下：

b[0]=a[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
    if(b[i-1]>0) b[i]=b[i-1]+a[i];
    else b[i]=a[i];
}
for(i=1;i<n;i++)
    if(b[i]>b[0]) b[0]=b[i];
cout<<b[0]<<endl ;

显然，能够作一个优化！

每一次循环迭代计算b[i]，咱们只须要知道前一次迭代b[i-1]的值，因此不必存b[1...n]的全部值。每一次计算b[i]，只须要根据前一次的迭代值pre计算本次迭代的值，时刻更新最大值！

代码以下：

max=0; pre=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
    if(pre>=0) pre+=a[i];
    else pre=a[i];
    if(pre>max) max=pre;
}
cout<<max<<endl;

还有一种迭代方式,这个稍微须要转换一下思惟。pre记录当前扫描位置a[i]对应的a[1...n]的前缀a[1...i]最长的非负后缀的和，显然若本次迭代后pre非负，那么就能够做为下一次扫描的前缀！若本次迭代后pre<0，那么pre置零(至关于从新开始记录一个序列)。

由于最终的最大子序列必然没有一个负前缀(不然能够去掉这个前缀以得到更大的子序列),那么a[1...n]的最大子序列必然就会出如今某次pre中(由于a[1...n]的最大子序列必然是迭代过程当中的一个非负前缀)，每次迭代更新最大值保存最大子序列之和。

代码以下：

max=0;pre=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
pre+=a[i];
if(pre>max) max=pre;
if(pre<0) pre=0;
}
cout<<max<<endl;

搞完最大子序列，又想到最大子矩阵，不过最大子矩阵就略微苦逼一点。迭代i , j把第 i~j 行压缩至一行，而后利用最大子序列来计算，时间复杂度O(n^3)……

目前貌似没有一个比较好的算法，值得研究一下！