一棵树-可视化之图形化基础之向量

时间  2020-12-07
标签 javascript html 前端 java git github canvas segmentfault 数组 dom 栏目 JavaScript 繁體版
原文   原文链接
做者：肖剑华


  • 可视化是前端可视化
  • 图形是计算机图形学
  • 向量就是那个向量，高中学过的，你懂的
  • 树是那棵贼丑的树

结果


首先先看看本文最终的结果。



是否是贼丑！是否是能在画展上卖个好价格！
javascript

过程


好了，话很少说， 看看这棵贼丑的树是怎么诞生的吧。
html

坐标系


坐标系，或者说平面直角坐标系，是几何图形学的基础，其次是点、线、面这些元素。


坐标系你们都很熟悉， 最初接触坐标系应该是初中， 那时候的坐标系不知你们还有没有印象。


原点在中间， 水平轴是 x 轴， 竖轴是 y 轴， 分为四个象限。


可是呢, html canvas 这货， 默认原点在左上角， x 轴是跟平面直角坐标系是一致的， y 轴是向下的！！
相信这种坐标轴在平常工做中使用 canvas 绘图给前端人不知道形成过多少麻烦， 计算起来费事费力， 还容易出 bug。


那么如何把 canvas 的坐标系变成平面直角坐标系呢
前端

Maaaaaaaaagic! 
const canvas = document.querySelector('canvas')
const ctx = canvas.getContext('2d')
// 咱们这里把原点定位在canvas左下角
ctx.translate(0, canvas.height)
// 关键步骤： 将canvasY轴方向翻转
ctx.scale(1, -1)


两行代码， 就完成了对坐标系的翻转。


咱们用一个 🌰 来验证一下


假设，咱们要在宽 512 * 高 256 的一个 Canvas 画布上实现以下的视觉效果。其中，山的高度是 100，底边 200，两座山的中心位置到中线的距离都是 80，太阳的圆心高度是 150。


咱们这里使用 rough.js 增长一下趣味性
java

<canvas
  width="512"
  height="256"
  style="display: block;margin: 0 auto;background-color: #ccc"
></canvas>
const canvas = document.querySelector('canvas')
const rc = rough.canvas(canvas)
rc.ctx.translate(0, canvas.height)
rc.ctx.scale(1, -1)

const cSun = [canvas.width / 2, 106]
const diameter = 100 // 直径

const hill1Points = {
  start: [76, 0], // 起始点
  top: [176, 100], // 顶点
  end: [276, 0] // 终点
}

const hill2Points = {
  start: [236, 0], // 起始点
  top: [336, 100], // 顶点
  end: [436, 0] // 终点
}

const hill1Options = {
  roughness: 0.8,
  stokeWidth: 2,
  fill: 'pink'
}

const hill2Options = {
  roughness: 0.8,
  stokeWidth: 2,
  fill: 'chocolate'
}

function createHillPath(point) {
  const { start, top, end } = point

  return `M${start[0]} ${start[1]}L${top[0]} ${top[1]}L${end[0]} ${end[1]}`
}

function paint() {
  rc.path(createHillPath(hill1Points), hill1Options)
  rc.path(createHillPath(hill2Points), hill2Options)

  rc.circle(cSun[0], cSun[1], diameter, {
    stroke: 'red',
    strokeWidth: 4,
    fill: 'rgba(255, 255, 0, 0.4)',
    fillStyle: 'solid'
  })
}

paint()


这里咱们翻转了坐标系， 定义了 mountain1，mountain2，太阳 的各个点的坐标， 彻底是参照直角坐标系的坐标。


最终的实现效果以下





（是否是也能在画展上卖个不错的价格）
git

向量

定义


说完直角坐标系的转换， 咱们来讨论今天的正主， 向量（Vector）


向量的广泛定义是具备大小和方向的量， 咱们这里讨论的向量是 几何向量， 是用一组平面直角坐标系的坐标表示的
例如 (1, 1), 意思是， 顶点坐标为 x 为 1，y 为 0 的一条有向线段， 向量的方向是由 原点(0, 0) 指向顶点(1,1)的方向。


换言之， 知道了向量的顶点， 就知道了向量的大小和方向
github

向量的模


向量的大小也叫向量的模，是向量坐标的平方和的算术平方根， length = Math.pow((x2 + y2), 0.5)。
canvas

向量的方向


向量的方向一方面可使用向量的顶点表示。


另一方面使用向量和 x 轴的夹角，也可以表示一个向量。


使用 javascript Math 的内置方法能够获得，计算方式：
segmentfault

// 构造函数在本文稍后的地方介绍
const v = new Vector2D(1, 10)
const dir = Math.atan2(v.y, v.x)

四则运算

加减法


示意图:



如图所示： 向量 v1(x1, y1)和向量 v2(x2, y2)相加获得的新的向量就是两个向量对应坐标之和, 用公式表达就是
v1(x1, y1) + v2(x2, y2) = v3(x1 + x2, y1 + y2)


反之就是减法 v3(x1 + x2, y1 + y2) - v2 (x2, y2)= v1(x1, y1)
数组

乘除


向量乘法有 叉乘和点乘
dom

点乘示意图：





物理意义是， 方向为 va 方向，大小为 va.length 的力， 沿 vb 方向拉动 vb.length 距离所作的功


va vb = va.length vb.length * cos(rad)

叉乘示意图：





va vb = va.length va.length * sin(rad)


也能够理解为长度为 va.length 的线段沿着 vb 方向移动到 vb 顶点扫过的面积， 反之就是除法


乘除这里仅作概念上的介绍

单位向量


长度为 1 的向量叫作单位向量， 知足这个条件的向量有无数条， 一个非 0 的向量除以他的模，就是这个向量的单位向量， 咱们取与 x 轴夹角为 0 的向量：[1, 0]做为单位向量

向量的旋转


将一个向量转动必定的角度 rad 以后的向量该如何计算呢。
这里有比较复杂的推导过程， 所以能够直接记住结论。


具体代码在下面构造函数里面展现

构造器

// 用一个长度为2的数组表示一个向量， 下标为0的位置表示x 下标为1的位置表示 y
class Vector2D extends Array {
  constructor(x = 1, y = 0) {
    super(x, y)
  }

  get x() {
    return this[0]
  }

  get y() {
    return this[1]
  }

  set x(v) {
    this[0] = v
  }

  set y(v) {
    this[1] = v
  }

  add(v) {
    this.x = this.x + v.x
    this.y = this.y + v.y
    return this
  }

  length() {
    return Math.hypot(this.x, this.y)
  }

  rotate(rad) {
    const c = Math.cos(rad)
    const s = Math.sin(rad)
    const [x, y] = this
    this.x = x * c + y * -s
    this.y = x * s + y * c
    return this
  }
}


至此，画出文章开头的那个图形的基本要素都已经准备好了。
下面， 让咱们来见证一下世界名画的产生。

动手画图

  1. 准备一个 512 * 512 的画布
<html>
  ...
  <canvas
    width="512"
    height="512"
    style="display:block;margin:0 auto;background-color: #ccc"
  ></canvas>
  ...
</html>
  1. 翻转 canvas 坐标系
const canvas = document.querySelector('canvas')
const ctx = canvas.getContext('2d')
ctx.translate(0, canvas.height)
ctx.scale(1, -1)
  1. 定义绘制树枝的方法
/**
 * 1. ctx canvas ctx 上下文对象
 * 2. 起始向量
 * 3. length 向量长度(树枝长度)
 * 4. thickness 线段宽度
 * 5. 单位向量 dir 旋转角度
 * 6. bias 随机因子
 */
const canvas = document.querySelector('canvas')
const ctx = canvas.getContext('2d')
ctx.translate(0, canvas.height)
ctx.scale(1, -1)
ctx.lineCap = 'round'
console.log(canvas.width)
const v0 = new Vector2D(canvas.width / 2, 0)

function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
  const v = new Vector2D().rotate(rad).scale(length)
  console.log(v, rad, length)
  const v1 = v0.copy().add(v)
  ctx.beginPath()
  ctx.lineWidth = thickness
  ctx.moveTo(...v0)
  ctx.lineTo(...v1)
  ctx.stroke()
  ctx.closePath()
}
// 定义好了以后咱们先画一个树枝试试看
drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 1)
  1. 递归画图
// 先定义收缩系数
const LENGTH_SHRINK = 0.9
const THICKNESS_SHRINK = 0.8
const RAD_SHRINK = 0.5
const BIAS_SHRINK = 1

function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
  // ....

  if (thickness > 2) {
    // 画左树枝
    const left =
      Math.PI / 4 +
      RAD_SHRINK * (rad + 0.2) +
      drawBranch(
        ctx,
        v1,
        length * LENGTH_SHRINK,
        thickness * THICKNESS_SHRINK,
        left,
        bias
      )

    // 画右树枝
    const right = Math.PI / 4 + RAD_SHRINK * (rad - 0.2)
    drawBranch(
      ctx,
      v1,
      length * LENGTH_SHRINK,
      thickness * THICKNESS_SHRINK,
      right,
      bias
    )
  }
}

drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 1)


这一步画出来的是一个比较规则的形状， 代码写到这一步，树的基本形状已经出来了，可是 为了展现效果， 向量翻转上加一些随机性来画一颗更加接近天然状态的树。代码以下：

function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
  // ....

  if (thickness > 2) {
    // 画左树枝
    const left =
      Math.PI / 4 + RAD_SHRINK * (rad + 0.2) + bias * (Math.random() - 0.5) // 加些随机数
    drawBranch(
      ctx,
      v1,
      length * LENGTH_SHRINK,
      thickness * THICKNESS_SHRINK,
      left,
      bias
    )

    // 画右树枝
    const right =
      Math.PI / 4 + RAD_SHRINK * (rad - 0.2) + bias * (Math.random() - 0.5) // 加些随机数
    drawBranch(
      ctx,
      v1,
      length * LENGTH_SHRINK,
      thickness * THICKNESS_SHRINK,
      right,
      bias
    )
  }
}

drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 1)




等等等等， 效果图：一棵光秃秃的树





（是否是有点艺术内味儿了）


剩下的就是添加一些点缀， 把果子挂上

function drawBranch(ctx, v0, length, thickness, rad, bias) {
  // .....

  if (thickness < 5 && Math.random() < 0.3) {
    const th = 6 + Math.random()

    ctx.save()
    ctx.strokeStyle = '#e4393c'
    ctx.lineWidth = th
    ctx.beginPath()
    ctx.moveTo(...v1)
    ctx.lineTo(v1.x, v1.y + 2)
    ctx.stroke()
    ctx.closePath()
    ctx.restore()
  }
}

drawBranch(ctx, v0, 50, 10, Math.PI / 2, 3) // 这里增大了随机因子， 让树枝更加分散


此时效果图就出来了：



（我再问一遍， 是否是很好看， 是否是很想花个几百万小钱买下它）


对于drawBranch第一调用， 能够尝试调一调参数，看看结果如何。


完整代码地址：github

总结


本文首先展现了如何将 canvas 的坐标系转化为直角坐标系


其次用一个例子演示了，向量在图形学内的基本运算。


向量运算的意义并不单单只是用来算点的位置和构造线段，这只是最初级的用法。


可视化呈现依赖于计算机图形学，而向量运算是整个计算机图形学的数学基础。并且，在向量运算中，除了加法表示移动点和绘制线段外，向量的点乘、叉乘运算也有特殊的意义。

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