13 October

树链剖分

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1036

https://oi.men.ci/tree-chain-split-notes/、

点分治

https://oi.men.ci/tree-divide-notes/

https://www.luogu.org/blog/chengni5673/dian-fen-zhi

对于一棵树，统计长度为 x 的路径的路径数.

点分治: 找到一个点为根，统计答案，而后将它的子树分离，分别进行一样的操做，继续，直到只剩下一个点. 其中选择的根是有要求的，为了保证时间复杂度，咱们须要尽可能的让子树的大小相近，因此每一次咱们选择的根都最好是当前这棵树的重心.

图论常见技巧

• 反向建边
• 虚点连边

Graph 1. 求各点到指定点集的最短距离的优化方法

(a)

(b)

Graph 2. 二分彻底图建边的优化方法

• 建边的线段树优化

Graph 3. 建边的线段树优化

• 拆点
• 分层图解决刁钻图上操做

分层图就是有多维状态的有边长图，比起正常的最短路转移多了一种跨维度转移的状态转移. 通常都是舍去某边长度，最多舍多少次 (次数较少).

[JLOI2011] 飞行路线: Alice 和 Bob 如今要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在 n 个城市设有业务，设这些城市分别标记为 0 到 n-1，一共有 m 种航线，每种航线链接两个城市，而且航线有必定的价格。Alice 和 Bob 如今要从一个城市沿着航线到达另外一个城市，途中能够进行起色。航空公司对他们此次旅行也推出优惠，他们能够免费在最多 k 种航线上搭乘飞机。那么 Alice 和 Bob 此次出行最少花费多少？

分层图能够很巧妙的解决这个问题. 想象你每次使用免费航线以前和以后分别存在于不一样的时空 (不一样的层) 里面，每使用一次免费航线，你就从这个时空进入了另外一个时空 (免费). 根据以上思想建图，一共建 k+1 层图，相邻的两层图中进行连边 (单向边，距离为 1). 而后跑 Dijkstra 便可.

— gaotianyu1350

图论的注意点

• 无向图/有向图
• 自环、重边
• 环（缩点）
• 负环、零环