累了吗？来挑战一下算法趣题，看看本身是哪一个段位的程序猿吧！

 在这个突飞猛进的互联网时代中，但万变不离其宗的是，“算法”是其重要基石。要编写高效率的程序，就须要优化算法。不管开发工具如何进化，熟识并能灵活运用算法仍然是对程序员的基本要求。

这里为那些已经学习过排序、搜索等知名算法，并想要学习更多有趣的算法，进一步提高编程技巧的工程师们准备了四道数学谜题形式的问题。这四道趣题分青铜、黄金、铂金，钻石级别。

在挑战以前，先介绍下问题的具体形式：

每一个问题大体分为“答案”和“解析”两部分。

请各位先通读问题描述，并动手编写程序尝试解题。在这个过程当中，具体的实现方法是其次，更重要的是思考“经过哪些步骤来实现才可以解决问题”。

每一个问题都有思路讲解和源代码示例。请留意本身编程时在处理速度、可读性等方面进行的优化，和本文的源代码示例有什么不一样。若是事先看了思路讲解和答案，就会失去解题的乐趣，因此这里建议你们先编程解题，再看讲解。

为了你们更好的享受解题乐趣，把“答案”和“解析”放在了最后。

你准备好接招了吗？

 

Q1：倔强青铜

尝试用编程解决问题

 

难度系数：★

优秀的扫地机器人

（IQ：80    目标时间：20分钟）

如今有不少制造商都在卖扫地机器人，它很是有用，能为忙碌的咱们分担家务负担。不过咱们也很难理解为何扫地机器人有时候会反复清扫某一个地方。

假设有一款不会反复清扫同一个地方的机器人，它只能先后左右移动。举个例子，若是第1 次向后移动，那么连续移动3 次时，就会有如下9 种状况（如图 ）。又由于第1 次移动能够是先后左右4 种状况，因此移动3 次时所有路径有9×4 ＝ 36 种。

※ 最初的位置用0 表示，其后的移动位置用数字表示。

（移动路径事例）

问题：求这个机器人移动12 次时，有多少种移动路径？

(ps:最初三次的移动方向很自由，从第四次开始，坐标有些方向就不能移动啦）

 

Q2：荣耀黄金

解决简单问题体会算法效果

难度系数：★★

朋友的朋友也是朋友吗

（IQ：90    目标时间：25分钟）

“六度空间理论”很是有名。大概的意思是1 我的只须要经过6 个中间人就能够和世界上任何1 我的产生间接联系。本题将试着找出数字的好友（这里并不考虑亲密指数）。

假设拥有一样约数（不包括1）的数字互为“好友”，也就是说，若是两个数字的最大公约数不是1，那么称这两个数互为好友。

从1~N 中任意选取一个“合数”，求从它开始，要经历几层好友，才能和其余全部的数产生联系（所谓的“合数”是指“有除1 以及自身之外的约数的天然数”）。

举个例子，N ＝ 10 时，1~10 的合数是四、六、八、九、10 这5 个。

若是选取的是10，那么10 的好友数字就是公约数为2 的四、六、8这3 个。而9 是6 的好友数字（公约数为3），因此10 只须要通过2 层就能够和9 产生联系（如图 ）。若是选取的是6，则只需通过1 层就能够联系到四、八、九、10 这些数字。所以N ＝ 10 时，不管最初选取的合数是什么，最多通过2 层就能够与其余全部数产生联系。

（N=10的时候）

问题： 求从1~N 中选取7 个合数时，最多通过6 层就能够与其余全部数产生联系的最小的N。

 

Q3：尊贵铂金

优化算法实现高速处理

难度系数：★★★

优雅的IP 地址

（IQ：100    目标时间：30分钟）

可能大部分读者都清楚，IPv4 中的IP 地址是二进制的32 位数值。不过，这样的数值对咱们人类而言可读性比较差，因此咱们一般会以8 位为1 组分割，用相似192.168.1.2 这种十进制数来表示它。

 

 

（IP地址 IPv4）

这里，咱们思考一下十进制数0~9 这10 个数字各出现1 次的IP 地址（像正常状况同样，省略每组数字首位的0。也就是说，不能像192.168.001.002 这样表示，而要像192.168.1.2 这样来表示）。

 

问题： 求用二进制数表示上述形式的IP 地址时，能使二进制数左右对称的IP 地址的个数（用二进制数表示时不省略0，用完整的32 位数表示）。 （ps：IPv4的IP地址用十进制表示时，以点号分割的各部分数字都在0~255这个范围内。能够经过求“比特列为8位且左右对称”的数值，并将其设置在以点号分割的各部分上来解题。）

 

Q4：永恒钻石

改变思路让程序速度更快

难度系数：★★★★

异性相邻的座次安排

（IQ：130    目标时间：60分钟）

回想起学生时期调座位的时候，咱们的内心老是会小鹿乱撞。想必不少人都对谁会坐本身旁边这件事莫名地激动吧？

这里咱们考虑一种“先后左右的座位上必定都是异性”的座次安排。也就是说，像图右侧那样，先后左右都是同性的座次安排是不符合要求的（男生用蓝色表示，女生用灰色表示）。（座位安排示例）

问题： 假设有一个男生和女生分别有15 人的班级，要像图26 那样，排出一个6×5的座次。求知足上述条件的座次安排共多少种（先后或者左右镜像的座次也看做不一样的安排。另外，这里不在乎具体某个学生坐哪里，只看男生和女生的座次安排）？ （ps：剪枝能够有效的缩小搜索范围哦）

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~华丽丽的分割线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

使人激动的答案来啦~

Q1答案：324932

详细解析：用坐标(0, 0) 表示最初的位置。从这个原点开始，避开已经走过的坐标，使机器人前进。用深度优先搜索就能够实现逻辑，如图所示。

 

 

Q2答案：55（知足条件的组合为：【4,26,39,55,35,49】）

详细解析：要解决这个问题，首先要正确理解问题中出现的词。首先是“合数”。

其次是“公约数”这个词。小学的时候，咱们就作过求最大公约数的题。公约数的意思就是“共同的约数”。这里，拥有共同约数的数字互为“好友”，那么就须要求最大公约数非1 的状况。

从1~N 中选取7 个合数，且“最多通过6 层”，那么能够得知，咱们要找的是“由2 个数相乘获得的数字”的组合。这样的话，乘法运算中的这2 个数就会成为公约数。

举个例子，选出a~h 这些数。简单地说就是，当7 个数字分别是如下的形式时，通过6 层就能与其余全部数产生联系。

a × b, b× c, c× d, d × e, e × f, f× g, g ×h

※这里a~h 这些数字必须“互质”。

更进一步考虑，也能够像本题中的例子同样，把第1 个数字设置成“平方数”（即4），也就是说变成下面这样的组合更好。

a × a, a × b, b × c, c × d, d × e, e × f, f × g

末尾若是一样设置成平方数就会变得更小，也就是变成下面这样的组合。

 a × a, a × b, b × c, c × d, d × e, e × f, f × f 

 用Ruby 能够如图实现。

 

Q3答案：8个
详细解析：按照题意，用十进制数表示时要使用0~9 这10 个数字各1 次，那么最高位是除0 之外的9 种状况，而其余各个数位可分别使用0~9 这10个数字各1 次，其排列组合一共9!（9 的阶乘）种，因此总共要遍历9×9! 种，也就是3265920 种状况。

要想求左右对称的二进制数，能够经过把16 位的二进制数逆序排列，并将结果与该16 位的二进制数自己拼合，即生成32 位数来求得。由于是16 位，因此全量搜索时只须要遍历65536 种状况便可。

而后，把这个二进制数转换成十进制数，分别使用0~9 这10 个数字各1 次便可。

 

用Ruby 实现时，代码如图 所示。