思惟题练习专场-数学篇

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太可怕了终于仍是来作数学了……

以前只是看过一点点反演相关的东西

以前的总结：杜教筛 反演 

提高的目标是思惟，尤为是找到关键性质做为突破口的能力。

不可能找到一种解决全部问题的通式，尤为是在数学这里……因此培养观察分析关键性质的能力就尤其重要

这篇博客也将重点记录每道题的突破关键点……但愿本身在2天时间里能有所提升……

一，UOJ#62

　　这道题是反演套反演套反演233333

　　这题的经验：

　　首先，反演的过程当中不必定要出现$\mu$，咱们能够直接用for循环$O(nln_{n})$处理。

　　因此不能被$\mu$局限住思惟，而要观察两个函数之间的相互关系

　　第二，在遇到一个形如$f(gcd(i,j))$很差化开的时候，咱们有这样一种思路：

　　寻找/构造一个新函数$g(x)$，使得$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$

　　这样的话，咱们能够把$f(gcd(i,j))$的限制变成$\sum_{d|i,d|j}g(d)$

　　这样也许就能找到新的突破口，好比咱们能够把$d|i$和$d|j$这两个条件拆开利用，或者改变枚举顺序……之类的

　　第三，数论和线性代数之间也是有密切联系的。以前一直没有注意到这一点

　　好比咱们的反演过程其实能够表示为乘一个逆矩阵

　　可是因为莫比乌斯反演的矩阵比较特殊，因此咱们能有方便的作法。

　　此外，此题也有用线性代数理解的方法：咱们依然使用上面那个$g$函数，定义下面三个矩阵：

　　$A_{ij}=[j|i]$，$B_{ij}=[i==j]g(i)$，$C_{ij}=[i|j]$，手推一下能够发现$f=A*B*C$，

　　这里说一下观察到的一个小性质

　　若是咱们给一个矩阵A乘一个只有对角线上有元素的矩阵B，那么效果至关于给第i行每一个

　　很棒的一点是这三个矩阵的逆都是能够求的，那么咱们就得到了$O(n^2)$直接算逆的作法

　　最后推式子优化也能够作到$O(nlog_{n})$

　　（不过我我的感受仍是上面三次反演好理解）

　　*咱们具体说一下莫反的线性代数形式

　　咱们知道，$\sum_{d|n} \mu(d) == [n==1]$

　　那么变一下形，就会有$[m|n] \sum_{d|\frac{n}{m}}\mu(d)==[\frac{n}{m}==1]==[n==m]$

　　若是咱们把$n$和$m$当作下标，上面这个就是一个单位矩阵

　　接着，咱们枚举$c=m*d$，给原式继续变形，则有：

　　$ \sum_{c} [c|n][m|c]\mu(\frac{c}{m})$

　　如今，咱们找两个矩阵A和B，使得$A_{cn}==[c|n]$，$B_{mc}==[m|c]\mu(\frac{c}{m})$

　　那么会有$BA==I$,这里$I$为单位矩阵

　　从上面$f$和$g$的定义咱们又知道$f=g*A$

　　两边同乘$B$，那么$f*B=g$，你会发现这也就是莫比乌斯反演的那个式子

后来又看了看vfk老师的ppt

发现一句很棒的话，这种用反演把二元限制关系拆成独立的思想很不错

体现有fwt，dft，fmt，以及普通的莫比乌斯反演等等

二，loj2513

md傻逼高斯消元有80分部分分？

边界判错了能有20分，真是感动

而后看了一眼徐明宽老师的标程，一眼发现一个叫gauss的函数？？？

那我仍是本身想吧，这什么牛逼题啊

而后把矩阵输出了出来

发现是个下三角矩阵

md那我还n^3个jb啊，这样直接n^2消元就好了

而后这道水题就作完了，但是我却打了一上午这个题

怎么回事？回忆一下，我一开始想了不能过数据的统计方式，加和而后除以总的方案数

打了一个半小时才打完裸消元，而后交上去，发现不对

而后才改变了计算方式，而后又调了一个多小时才发现那个边界

而后拿到70分以后发现了性质……

…………可能我与出题人心灵不相通吧……

不过下次作题的时候要先考虑好全部的式子和边界状况，

边打边想很容易漏状况

这两天玩高斯消元发现了新思路：观察式子/矩阵，能够获得$O(n^{2})$甚至$O(n)$的消元

其实就是手动枚举代替for循环233333

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这里是分割线，此次我效率好低啊……只作了这一点题……

毒瘤之间的交流

接下来就是持续一上午的讲题环节

因为本身是个傻逼，过后才发现有不少精彩的部分都再本身走神的时候错过了

悟以往之不鉴，知来者之可追……之后要提升效率，不能让本身失望啊……

感受前几天作题的时候和别人讨论的时候效率极其低下

之后在作题的时候要先避免讨论啊……感受本身效率低好有负罪感啊……对不起本身的目标啊……

加油加油！

那么……来看一看此次讲的题目

因为多项式部分听的比较认真就先说一下多项式吧……

首先此次我终于解决了一个问题：这些XXT是怎么构造出来的

感谢RYF的讲解，虽然咱们两个坐到一块儿讨论老是会变得效率低下2333333

如今咱们想要一个复杂度优于n^2的变换，知足有正变换和逆变换（变换矩阵可逆）

怎么求解呢？因为咱们变换都是“正变换-->对应位相乘-->逆变换”这样一个过程

咱们能够把目标式和计算式两个正变换写在等号两边，化一下式子，你会发现你构造的变换矩阵应该知足

$T_{k,i} * T_{l,i} = T_{k#l,i}$

这样就特别棒了，好比，咱们手解个方程能够解出$fwt$的矩阵

此外，若是下标系统知足循环律的话咱们还能够利用单位根构造一下，好比$dft$

其实这些变换都是有一个if语句的限制关系摆在那里让咱们很难处理

通常限制有mod关系，相等的关系，位运算的关系……

而后，咱们须要结合这个语句寻找把限制转化的方法

好比，循环卷积的if是mod，咱们利用单位复数根求和的特判找到拆开mod的方法

fwt的或/与变换，咱们把p|q==r变成p属于r&&q属于r来拆限制，而后用高维前缀和作变换

反演中的gcd咱们寻找d|i && d|j 来拆限制

二项式反演，咱们用$(1-1)^n$的展开式代替$n==m$，而后作反演等等

感受本身对反演以及变换有了新的认识……

另外彷佛学到了一个新技巧，好几道题都用了这个变形：$ik=((i+k)^2-i^2-k^2)/2$

另一种形式是 $ik=((i+k)(i+k-1)-i(i-1)-k(k-1))/2$，这种写法多见于任意长度循环卷积中

不过这个科技我只是略微听了一下，没有实际实现过……待补坑

这样，咱们若是在卷鸡的时候有一项的指数有ik堆在一块儿的状况，

用这个技巧就能够在卷的时候把指数中同时存在$ik$的指数拆开，而后就能够作了

以及lc的题对于差分的应用真的很6啊……

我的感受本身一直不会用差分……就很虚弱

咱们差分的用处有不少，好比维护信息的时候能够把区间加改为单点加，区间加等差数列改为区间加……等等

还能够用于推式子……若是表达式中有难处理的东西也许能够差分掉

裂项相消法

错位相减法

而后还能够经过差分观察性质，好比以前那个置换的题，发现转移式子至关于交换差分的那个

还能够经过差分处理一些有单调性的题目，好比维护后缀最大值的差分数组的那题

可是……说了这么多要是真碰到题目仍是不会用23333

反演的部分有一个不错的题目是srs的bzoj2627：JZPKIL

这题也挺不错的……我没想到的一个地方是分解质因子

具体来讲，因为n很大，咱们有意识的把有积性的函数都归到一块儿，设他们为函数$F$

而后枚举n的质因子，那么$f(n)=\prod(f(pi^ki))$

而因为这是反演题因此他有个$mu$……在质因子只有一种的状况下，mu只有2种可能的状况有值：0次方的1和1次方的-1

而后咱们的式子就被简化了，就可作啦！

在式子中有mu的时候这种分解质因子的处理方法彷佛很经典

一我的的数论和循环之美两道经典题目中都有这种处理方式的应用

另外，yzh的题目也很不错

我的只能想出30分的部分分，并无推导更多的式子

其实换成枚举gcd就能够想出分数更高的算法？

正解是一个……$O(n^{\frac{3}{7}})$的算法，目前没有研究明白

看起来，一些数论题目（尤为是这些毒瘤反演）的复杂度分析也是很重要的一环

积分是经常使用的姿式

若是复杂度分析很差，可能会本身打错解，也可能不敢打正解

不过如今考试彷佛不会特别仔细的算时空复杂度

之后要注意这一点，避免由于这个浪费时间

接着是一些几率和博弈的题目

wq选的题目是一道很不错的博弈论(bzoj4220)

以前咱们说的博弈论都是sg函数等等模型或者结论的东西

可是事实证实，高端玩家们都不玩结论题了23333

这些博弈论题目更加注重“博弈分析”，即利用人类智慧，分析游戏的过程，考虑何时游戏决策会很优秀

真是烧脑啊……分析这个东西很是的考察思惟啊……

对于本题来讲，咱们首先能够分析两个玩家的决策，写出一个收益矩阵

而后……咱们会意识到，若是每一个人都使用单一策略，由于两人都是绝顶聪明的，因此两我的就永远不会肯定一个稳定的策略

而后咱们就会意识到咱们应该找一个带几率的稳定策略，使得两我的都没法经过调整策略使得本身收益增长，而对手不动

虽然这就是纳什均衡的模型吧……可是这个分析在不知道这个模型的状况下也是能够作出来的

在这以后，咱们求出那个平衡点的几率，这样咱们就得到了两我的的策略，而后就能够继续分析了……

这种博弈分析的题目我以前根本没见过，分析问题的思惟也没有特地去训练过

有时间的话，挑两道好题训练一下吧，也许能够和wq要两道

接着，ltr的题目彷佛是那种思惟难度很高代码很短的题目？

课前看到这题就没有思路……结果讲的时候也没有听懂，一点思路都没有

因此GG了……

而后……感受很内疚的是在听wxhao的几率数据结构(loj2263)，

以及wxhui的量子态fwt(uoj328)的时候我走神了……

因此基本处于懵X状态，没能从题目上面收获不少

感受亏死了啊啊啊……此次有3道好题都没有学习到，不知道还有没有时间补题……

最后是总共的题表，按讲课顺序2333

uoj62 zzh

bzoj2627 srs

loj509 yzh

原创题+cf901E lc

loj6271/548 ryf

uoj328 wxhui

bzoj4220 wq

loj552 ltr

loj2263 wxhao

bzoj4820 wzz

再总结一下数学专项的考试题？

如今看来其实大部分都是上面写过的东西？

明明是考了以后才写的

有一个题目我以为特别新奇，就是那个找循环节而且利用了BSGS的题

感受本身作数学题的时候最不会想到的就是循环节了……虚弱……

而且用BSGS找循环节我也是没有想过的，单知道能够求A^x=B (mod C)

可是其实那个也是循环节啊……总之本身仍是没有这个意识

若是有循环节的话咱们就能够减小本来按题目定义是无穷的计算量

以前有一个题意是作无限次fwt的题也能够用找循环节作

本身找循环节的意识基本为0……考试基本想不起来

要培养一下这个意识……

而后有一个奇形怪状的gauss题目

利用了一大波指望的线性性

那个题思惟难度也挺高的，很nb

最后的总结：

此次数学专题的学习彷佛就结束了……

感受本身仍是很虚，见到题仍是不会作……

可是此次学到了很多新的思路，见到了很多新题……

接下来的话，大概会和最近同样找一些专题来作

发现有的数据结构题也挺妙的，数据结构不必定都是毒瘤题

之后找一些不错的数据结构题和制胡窜题目看成专题吧

以上。