二叉查找树

什么是二叉查找树

在数据结构中，有一个奇葩的东西，说它奇葩，那是由于它重要，这就是树。而在树中，二叉树又是当中的贵族。二叉树的一个重要应用是它们在查找中的应用，因而就有了二叉查找树。 使二叉树成为一颗二叉查找树，须要知足如下两点：

1. 对于树中的每一个节点X，它的左子树中全部项的值都要小于X中的项；
2. 对于树中的每一个节点Y，它的右子树中全部项的值都要大于X中的项。

二叉查找树的基本操做

如下是对于二叉查找树的基本操做定义类，而后慢慢分析是如何实现它们的。

template<class T>

class BinarySearchTree

{

public:

    // 构造函数，初始化root值

    BinarySearchTree() : root(NULL){}

    // 析构函数，默认实现

    ~BinarySearchTree() {}

    // 查找最小值，并返回最小值

    const T &findMin() const;

    // 查找最大值，并返回最大值

    const T &findMax() const;

    // 判断二叉树中是否包含指定值的元素

    bool contains(const T &x) const;

    // 判断二叉查找树是否为空

    bool isEmpty() const { return root ? false : true; }

    // 打印二叉查找树的值

    void printTree() const;

    // 向二叉查找树中插入指定值

    void insert(const T &x);

    // 删除二叉查找树中指定的值

    void remove(const T &x);

    // 清空整个二叉查找树

    void makeEmpty() const;

private:

    // 指向根节点

    BinaryNode<T> *root;

    void insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;

    void remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;

    BinaryNode<T> *findMin(BinaryNode<T> *t) const;

    BinaryNode<T> *findMax(BinaryNode<T> *t) const;

    bool contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const;

    void printTree(BinaryNode<T> *t) const;

    void makeEmpty(BinaryNode<T> *&t) const;

};

findMin和findMax实现

根据二叉查找树的性质：

1. 对于树中的每一个节点X，它的左子树中全部项的值都要小于X中的项；
2. 对于树中的每一个节点Y，它的右子树中全部项的值都要大于X中的项。

咱们能够从root节点开始：

1. 一直沿着左节点往下找，直到子节点等于NULL为止，这样就能够找到最小值了；
2. 一直沿着右节点往下找，直到子节点等于NULL为止，这样就能够找到最大值了。

以下图所示：

在程序中实现时，有两种方法：

1. 使用递归实现；
2. 使用非递归的方式实现。

对于finMin的实现，我这里使用递归的方式，代码参考以下：

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMin(BinaryNode<T> *t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return NULL;

    }

    else if (t->left == NULL)

    {

        return t;

    }

    else

    {

        return findMin(t->left);

    }

}

在findMin()的内部调用findMin(BinaryNode<T> *t)，这样就防止了客户端知道了root根节点的信息。上面使用递归的方式实现了查找最小值，下面使用循环的方式来实现findMax。

template<class T>

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMax(BinaryNode<T> *t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return NULL;

    }

    while (t->right)

    {

        t = t->right;

    }

    return t;

}

在不少面试的场合下，面试官通常都是让写出非递归的版本；而在对树进行的各类操做，不少时候都是使用的递归实现的，因此，在平时学习时，在理解递归版本的前提下，须要关心一下对应的非递归版本。

contains实现

contains用来判断二叉查找树是否包含指定的元素。代码实现以下：

template<class T>

bool BinarySearchTree<T>::contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return false;

    }

    else if (x > t->element)

    {

        return contains(x, t->right);

    }

    else if (x < t->element)

    {

        return contains(x, t->left);

    }

    else

    {

        return true;

    }

}

算法规则以下：

1. 首先判断须要查找的值与当前节点值的大小关系；
2. 当小于当前节点值时，就在左节点中继续查找；
3. 当大于当前节点值时，就在右节点中继续查找；
4. 当找到该值时，直接返回true。

insert实现

insert函数用来向儿茶查找树中插入新的元素，算法处理以下：

1. 首先判断须要插入的值域当前节点值得大小关系；
2. 当小于当前节点值时，就在左节点中继续查找插入点；
3. 当大于当前节点值时，就在右节点中继续查找插入点；
4. 当等于当前节点值时，什么也不干。

代码实现以下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        t = new BinaryNode<T>(x, NULL, NULL);

    }

    else if (x < t->element)

    {

        insert(x, t->left);

    }

    else if (x > t->element)

    {

        insert(x, t->right);

    }

}

remove实现

remove函数用来删除二叉查找树中指定的元素值，这个处理起来比较麻烦。在删除子节点时，须要分如下几种状况进行考虑（结合下图进行说明）： 以下图所示：

1. 须要删除的子节点，它没有任何子节点；例如图中的节点九、节点1七、节点2一、节点56和节点88；这些节点它们都没有子节点；
2. 须要删除的子节点，只有一个子节点（只有左子节点或右子节点）；例如图中的节点16和节点40；这些节点它们都只有一个子节点；
3. 须要删除的子节点，同时拥有两个子节点；例如图中的节点66等。

对于状况1，直接删除对应的节点便可；实现起来时比较简单的；

对于状况2，直接删除对应的节点，而后用其子节点占据删除掉的位置；

对于状况3，是比较复杂的。首先在须要被删除节点的右子树中找到最小值节点，而后使用该最小值替换须要删除节点的值，而后在右子树中删除该最小值节点。
假如如今须要删除包含值23的节点，步骤以下图所示：

代码实现以下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return;

    }

    if (x < t->element)

    {

        remove(x, t->left);

    }

    else if (x > t->element)

    {

        remove(x, t->right);

    }

    else if (t->left != NULL && t->right != NULL)

    {

        // 拥有两个子节点

        t->element = findMin(t->right)->element;

        remove(t->element, t->right);

    }

    else if (t->left == NULL && t->right == NULL)

    {

        // 没有子节点，直接干掉

        delete t;

        t = NULL;

    }

    else if (t->left == NULL || t->right == NULL)

    {

        // 拥有一个子节点

        BinaryNode *pTemp = t;

        t = (t->left != NULL) ? t->left : t->right;

        delete pTemp;

    }

}

makeEmpty实现

makeEmpty函数用来释放整个二叉查找树占用的内存空间，同理，也是使用的递归的方式来实现的。具体代码请下载文中最后提供的源码。

总结

这篇文章对数据结构中很是重要的二叉查找树进行了详细的总结，虽然二叉查找树很是重要，可是理解起来仍是很是容易的，主要是须要掌握对递归的理解。若是对递归有很是扎实的理解，那么对于树的一些操做，那都是很是好把握的，而理解二叉查找树又是后续的AVL平衡树和红黑树的基础，但愿这篇文章对你们有帮助。