根号2是无理数的证实

目录

• \(\sqrt{2}\)是无理数

---

注：原创不易，转载请务必注明原做者和出处，感谢支持！

\(\sqrt{2}\)是无理数

证实：
利用反证法。假设\(\sqrt{2}\)是有理数，因而存在互质的两个整数\(m\)和\(n\)使得

\[ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \]

由于\(m\)和\(n\)互质，因此\(m\)和\(n\)不可能均为偶数。如今用\(n\)乘以等式两边，获得

\[ n\sqrt{2} = m \]

两边平方，获得

\[ 2n^2 = m^2 \]

从而可知\(m^2\)是偶数，由于奇数的平方（\((2l+1)^2=4l^2 + 4l + 1\)）老是奇数，因此\(m\)为偶数。因而，存在某个整数\(k\)使得\(m=2k\)，将其代入上式可得

\[ 2n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \]

也即

\[ n^2 = 2k^2 \]

从而可知\(n\)为偶数。因而\(m\)和\(n\)均为偶数，这与前提矛盾。因此\(\sqrt{2}\)是无理数。