算法——二分查找与其余

算法——二分查找

• 二分查找
• 简介
• 查找前提
• 原理
• 代码实现
• 注意
• 相似的查找方法
• 复杂度分析

二分查找

简介

二分查找(Binary Search)又被称为折半查找，它是一种效率较高^[1]的查找方法。

查找前提

源数据是有序的——数列有序，数列使用顺序储存储存结构（例如 数组 )。

原理

二分查找不断地经过比较和取中值来缩小区间的左右边界，直到命中预期数据。
注意： 对命中数据须要分清键值对，在调整区间时，调整的是键，而进行数据比较的时候，比较的是值。

代码实现

1. 算法（第四版）使用代码

static void Main(string[] args)
        {
            int[] arrayM = new int[15] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 };
            int[] arrayL = new int[5] { 1,16,4,0,7 };
            foreach (int key in arrayL)
            {
                int outputIndex = BinarySearch(arrayM, key);
                if (outputIndex >= 0) Console.WriteLine(arrayM[outputIndex]+" is in the arrayM.");
            }
            Console.Read();
        }

        static int BinarySearch(int[] inputArray, int key)
        {
            int left = 0;
            int right = inputArray.Length-1;
            while (left <= right)
            {
                int mid = (left + right) / 2;
                if (inputArray[mid] > key) right = mid - 1;
                else if (inputArray[mid] < key) left = mid + 1;
                else return mid;
            }
            return -1;
        }

2. 使用递归的二分查找

static void Main(string[] args)
        {
            int[] arrayM = new int[15] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 };
            int[] arrayL = new int[5] { 1, 16, 4, 0, 7 };
            foreach (int value in arrayL)
            {
                int outputIndex = BinarySearchRecursion(arrayM, value, 0, arrayM.Length-1);
                if (outputIndex >= 0) Console.WriteLine(arrayM[outputIndex] + "is int the arrayM(Use recursion)");
            }
            Console.Read();
        }
        
	static int BinarySearchRecursion(int[] inputArray, int value, int left, int right)
        {
            if (left <= right)
            {
                int mid = (left + right) / 2;
                if (inputArray[mid] == value) return mid;
                else if (inputArray[mid] > value) return BinarySearchRecursion(inputArray, value, left, mid - 1);
                else return BinarySearchRecursion(inputArray, value, mid + 1, right);
            }
            else return -1;
        }

注意

相似的查找方法

1. 插值查找
   在元素数值均匀分布的有序数组里面， 用插值查找是很快的²。特别的，对绝对均匀分布的数组（相邻元素差值相同）， 插值查找用一次比较就能查找成功。

public static int InsertSearch(int[] a, int key)
        {
            int low = 0;
            int high = a.Length - 1;
            int mid;
            while (a[low] != a[high] && key >= a[low] && key <= a[high]) {  // 判断条件很重要, 不能缺乏 
                mid = low + (high - low) * (key - a[low]) / (a[high] - a[low]);
                if (key < a[mid]) high = mid - 1;
                else if (key > a[mid]) low = mid + 1;
                else return mid;
            }
            if (key == a[low]) return low; // 若是是 2,2,2,2,2这种所有重复元素，返回第一个2
            else return -1;
        }

注意： 必定要保证两点：
a[low]!=a[high] （ 插值公式里分母是a[high] - a[low]，不能等于0）
a[low]<=key<=a[high]

2. 斐波那契查找
   1. 根据待查找数组长度肯定裴波那契数组的长度（或最大元素值）
   2. 根据1中长度建立该长度的裴波那契数组，再经过F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契数列为数组赋值
      以2中的裴波那契数组的最大值为长度建立填充数组，将原待排序数组元素拷贝到填充数组中来， 若是有剩余的未赋值元素， 用原待排序数组的最后一个元素值填充
   3. 针对填充数组进行关键字查找， 查找成功后记得判断该元素是否来源于后来填充的那部分元素

//测试代码，未完成！
 public static int fibMonaccianSearch(int[] arr,int x)
        {
            /* Initialize fibonacci numbers */
            int fibMMm2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No. 
            int fibMMm1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No. 
            int fibM = fibMMm2 + fibMMm1; // m'th Fibonacci 
            /* fibM is going to store the smallest Fibonacci Number greater than or equal to n */
            while (fibM < arr.Length)
            {
                fibMMm2 = fibMMm1;
                fibMMm1 = fibM;
                fibM = fibMMm2 + fibMMm1;
            }
            // Marks the eliminated range from front 
            int offset = -1;
            /* while there are elements to be inspected. Note that we compare arr[fibMm2] with x. When fibM becomes 1, fibMm2 becomes 0 */
            while (fibM > 1)
            {
                // Check if fibMm2 is a valid location 
                int i = min(offset + fibMMm2, arr.Length - 1);
                /* If x is greater than the value at index fibMm2, cut the subarray array from offset to i */
                if (arr[i] < x) {
                    fibM = fibMMm1;
                    fibMMm1 = fibMMm2;
                    fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
                    offset = i;
                }
                /* If x is greater than the value at index fibMm2, cut the subarray after i+1 */
                else if (arr[i] > x) {
                    fibM = fibMMm2;
                    fibMMm1 = fibMMm1 - fibMMm2;
                    fibMMm2 = fibM - fibMMm1;
                }
                /* element found. return index */
                else return i;
            }
            /* comparing the last element with x */
            if (fibMMm1 == 1 && arr[offset + 1] == x)
                return offset + 1;
            /*element not found. return -1 */
            return -1;
        }

复杂度分析

1. 时间复杂度
   折半搜索每次把搜索区域减小一半，时间复杂度为 ${\displaystyle O\left(\log n\right)}$。（n表明集合中元素的个数）
2. 空间复杂度
   ${\displaystyle O\left(1\right)}$。虽以递归形式定义，可是尾递归，可改写为循环。

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1. 在和顺序查找进行比较时，在数据量较大的状况下，若是源数据是有序的，则二分查找法效率高，反之顺序查找效率较高（缘由是对源数据进行排序须要耗费很长时间）。 ↩︎

2. 二分搜索在通常的状况下时间复杂度是对数时间，进行 ${\displaystyle O(\log n)}$次比较操做，插值搜索的最坏时间复杂度是 ${\displaystyle O(n)}$，平均进行 ${\displaystyle O(\log(\log n))}$次比较操做。由于用插值公式计算搜索键值，能使搜索范围比二分法更快缩小。因此除非输入数据数量不多，不然插值搜索比二分搜索与线性搜索更快，但数组必须事先被排序。不管对任何大小的输入数据，插值搜索算法使用的空间复杂度同样是 ${\displaystyle O(1)}$。 ↩︎