KMP算法的Next数组详解

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网上有不少讲解KMP算法的博客，我就不浪费时间再写一份了。直接推荐一个当初我入门时看的博客吧：
http://www.cnblogs.com/yjiyjige/p/3263858.html
这位同窗用详细的图文模式讲解了KMP算法，很是适合入门。
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KMP的next数组求法是很不容易搞清楚的一部分，也是最重要的一部分。我这篇文章就以我本身的感悟来慢慢推导一下吧！保证你看完事后是知其然，也知其因此然。

若是你还不知道KMP是什么，请先阅读上面的连接，先搞懂KMP是要干什么。
下面咱们就来讲说KMP的next数组求法。
KMP的next数组简单来讲，假设有两个字符串，一个是待匹配的字符串strText,一个是要查找的关键字strKey。如今咱们要在strText中去查找是否包含strKey，用i来表示strText遍历到了哪一个字符，用j来表示strKey匹配到了哪一个字符。
若是是暴力的查找方法，当strText[i]和strKey[j]匹配失败的时候，i和j都要回退，而后从i-j的下一个字符开始从新匹配。
而KMP就是保证i永远不回退，只回退j来使得匹配效率有所提高。它用的方法就是利用strKey在失配的j为以前的成功匹配的子串的特征来寻找j应该回退的位置。而这个子串的特征就是先后缀的相同程度。
因此next数组其实就是查找strKey中每一位前面的子串的先后缀有多少位匹配，从而决定j失配时应该回退到哪一个位置。

我知道上面那段废话很难懂，下面咱们看一个彩图：

这个图画的就是strKey这个要查找的关键字字符串。假设咱们有一个空的next数组，咱们的工做就是要在这个next数组中填值。
下面咱们用数学概括法来解决这个填值的问题。
这里咱们借鉴数学概括法的三个步骤（或者说是动态规划？）：
一、初始状态
二、假设第j位以及第j位以前的咱们都填完了
三、推论第j+1位该怎么填

初始状态咱们稍后再说，咱们这里直接假设第j位以及第j位以前的咱们都填完了。也就是说，从上图来看，咱们有以下已知条件：
next[j] == k;
next[k] == 绿色色块所在的索引;
next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;
这里要作一个说明：图上的色块大小是同样的（没骗我？好吧，请忽略色块大小，色块只是表明数组中的一位）。

咱们来看下面一个图，能够获得更多的信息：

1.由"next[j] == k;"这个条件，咱们能够获得A1子串 == A2子串（根据next数组的定义，先后缀那个）。

2.由"next[k] == 绿色色块所在的索引;"这个条件，咱们能够获得B1子串 == B2子串。

3.由"next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;"这个条件，咱们能够获得C1子串 == C2子串。

4.由1和2(A1 == A2，B1 == B2)能够获得B1 == B2 == B3。

5.由2和3(B1 == B2， C1 == C2)能够获得C1 == C2 == C3。

6.B2 == B3能够获得C3 == C4 == C1 == C2

上面这个就是很简单的几何数学，仔细看看都能看懂的。我这里用相同颜色的线段表示彻底相同的子数组，方便观察。

 

接下来，咱们开始用上面获得的条件来推导若是第j+1位失配时，咱们应该填写next[j+1]为多少？

next[j+1]便是找strKey从0到j这个子串的最大先后缀：

#：(#:在这里是个标记，后面会用)咱们已知A1 == A2，那么A1和A2分别日后增长一个字符后是否还相等呢？咱们得分状况讨论：

(1)若是str[k] == str[j]，很明显，咱们的next[j+1]就直接等于k+1。

　　用代码来写就是next[++j] = ++k;

(2)若是str[k] != str[j]，那么咱们只能从已知的，除了A1，A2以外，最长的B1，B3这个先后缀来作文章了。

那么B1和B3分别日后增长一个字符后是否还相等呢？

因为next[k] == 绿色色块所在的索引，咱们先让k = next[k]，把k挪到绿色色块的位置，这样咱们就能够递归调用"#："标记处的逻辑了。

 

因为j+1位以前的next数组咱们都是假设已经求出来了的，所以，上面这个递归总会结束，从而获得next[j+1]的值。

 

咱们惟一欠缺的就是初始条件了：

next[0] = -1,  k = -1, j = 0

另外有个特殊状况是k为-1时，不能继续递归了，此时next[j+1]应该等于0，即把j回退到首位。

即 next[j+1] = 0; 也能够写成next[++j] = ++k;

 

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始条件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;
 
    // 根据已知的前j位推测第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            next[++j] = ++k;
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

 

如今再看这段代码应该没有任何问题了吧。

优化：

细心的朋友应该发现了，上面有这样一句话：

(1)若是str[k] == str[j]，很明显，咱们的next[j+1]就直接等于k+1。用代码来写就是next[++j] = ++k;

但是咱们知道，第j+1位是失配了的，若是咱们回退j后，发现新的j(也就是此时的++k那位)跟回退以前的j也相等的话，必然也是失配。因此还得继续往前回退。

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始条件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;
 
    // 根据已知的前j位推测第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            // 若是str[j + 1] == str[k + 1]，回退后仍然失配，因此要继续回退
            if (str[j + 1] == str[k + 1])
            {
                next[++j] = next[++k];
            }
            else
            {
                next[++j] = ++k;
            }
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

好了，自此KMP的next求法所有讲解完毕。欢迎你们指出文章的错误，我好更加完善它。

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下面说说面试的时候，给一个字符串，要你写出它的Next数组，应该怎么写：

①：先对每一位左边的子串求出最大先后缀串的长度，做为初始的Next数组

②：由于第一位失配时须要移动i，所以赋值为-1

③：P[3] == A, Next[3] == 0, P[0] == A;  因此P[3] == P[0], (移动过去后仍是失配,须要继续移动),优化Next[3]为Next[0],即-1

④：同理优化Next[10]为Next[0],即-1

⑤：同理优化P[14],P[15],P[16]