找数字

找一个数字

题目描述：从1-100中删去任意一个数字，而后将剩下的99个数字打乱，获得无序序列。如今须要用一种方法找到这个数字。

加法

这是最简单的方法，将全部的数字求和，而后用减去就得到答案。

复杂度分析： 若是不算上保存99个数的空间，那么该方法只须要的空间记录求和，以及的时间遍历序列。

桶排序

另一个容易想到的的方法，因为数字连续而且数据规模小，因此只须要构建100个“桶”。从头遍历给定的99个数字，将其放入数值对应的“桶”中。最后从头开始找这100个“桶”，哪一个桶空就说明缺乏了哪一个数字。

复杂度分析： 该方法须要用到的额外空间，以及的时间复杂度。

异或

对于任意整数n，有，根据这个性质，就能够预先将1-100全部的整数异或，获得“异或和”X，而后再将X和序列中的每个元素异或，最后获得的答案就是被抠掉的数字。

复杂度分析： 和作加法相似，时间复杂度为，空间复杂度为，不过使用异或方法不须要考虑溢出的状况。

分治法

假设被抠掉的数字是n，那么n必定属于1~50或51~100两个区间。若是n属于前一个区间，那么n也必定属于1~25或26~50两个区间。这个过程能够一直划分，直到找到这个数字。

如今须要肯定这个数字是多少，那么仍是相似的思想。若是被抠掉的数字属于1~50，那么小于等于50的数字只有49个。如今数一数有多少个落入1~50区间，不妨假设只有49，那么又能够继续划分为计算1~25中有多少个数字的问题。这个过程能够一直划分，直到找到这个数字。

上面这个过程耗时最大的步骤就是统计区间的元素个数。一遍一遍扫描确定是不够好的，能够参考快速排序的元素划分方式。

1. 初始化查找区间，一开始就是；
2. 选择该区间的中值k，将集合中全部小于等于k的数字和大于k的数字分开，最后得到两个子集合和；固然在作划分的时候能够顺带统计元素个数了；
3. 若是小于等于k的元素集合数量不足，那么缺失的数字就包含于区间，不然就在另外一个区间；
4. 通过步骤二、3就缩小了查找区间为原来的一半，对该区间重复步骤二、3，直到区间中只剩下一个元素，而区间对应的集合为空的元素就是缺失的数字。

每次搜索的区间都会缩小一半，所以只须要通过步就能够找到缺乏的元素。具体计算以下。用表示父查询任务的时间复杂度，则有，当时，；的时间复杂度为。

复杂度分析： 已经证实时间复杂度为。空间复杂度。

找两个数字

题目描述：从1-100中删去任意两个数字，而后将剩下的98个数字打乱，获得无序序列。如今须要用一种方法找到这两个数字。

桶排序

这个方法哪怕n为其余值也是可使用的，十分简单再也不赘述。

方程组

此时简单的差值求解不奏效了，只能求解获得两个数字的和。若是须要解出这两个数字，那就须要用一个等式构成方程组。

可否使用异或的方式获取一个等式构成方程组呢？即解方程组

要判断是否可行，能够列一下真值表：

		+
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

暂时先不考虑进位对结果的影响，也就是最低位的状况。显然最低位已经没法根据加法值和异或值肯定结果了（第二、3行），因此这个方法是不行的。

而若是使用方程组

虽然理论可行，可是计算在程序上会致使溢出。

若是改用对数方程是否可行？

虽然可能存在精度的问题，可是仍是决定实验一下。代码以下，x和y的值能够任意更换。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int x = 1, y = 2;
    int sum1 = 5050, sum2 = 0.0;
    double logsum1 = 0, logsum2 = 0.0;

    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        logsum1 += log(i);
    }
    for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
        if (i == x || i == y) continue;
        logsum2 += log(i);
        sum2 += i;
    }

    double x_plus_y = sum1 - sum2;
    double x_mult_y = exp(logsum1 - logsum2);

    cout << "x + y = " << x_plus_y << endl;
    cout << "x * y = " << x_mult_y << endl;
    return 0;
}
复制代码

通过测验，对于上面的代码，使用double型变量能够提供足够的精度，一方面是double有52bits的有效数据位，足够精细，另外一方面是因为100之内数的对数值并不会相差很大，因此浮点数相加并不会丢失不少精度。一样的代码若是使用float存储浮点结果，就会出现精度丢失的问题。

分治

分治法仍是能够用来解决这个问题。仍是用以前的假设：查询区间为，中值为k，左查询区间为，右查询区间为。

不管缺失的两个数字取自哪一个子查询区间，区间对应元素集合就会缺乏数字，那么就将父查询任务转化为有数字缺乏的区间的子查询任务。最差状况下，缺失的两个数字分别属于两个子查询区间。

借鉴“找一个数字”中分治法的符号表示，有，当时，；的时间复杂度为。

求解递推式：

复杂度分析： ，所以找两个数字的时间复杂度为；空间复杂度仍是

异或

虽然加法方程和异或方程联立没法解得结果，可是异或结果仍是说明了x和y数位上的特色。

从异或结果中看看从1-8中抠掉2个数字，求抠掉的两个数字。

十进制	二进制
1	0001
2	0010
3（抠掉）	0011
4	0100
5	0101
6（抠掉）	0110
7	0111
8	1000

令x=3，y=6，则异或结果为0101，代表第1位（从低到高）和第3位不同。若是按照第1位是否1将原来的数字分红两组，实际上就是将找两个数的问题转化为找1个数的问题。

复杂度分析 和找1数字的时候同样，时间复杂度为，空间复杂度为

更多数字？

若是如今问题变成了：从1-100中删去任意n个数字，而后将剩下的100-n个数字打乱，获得无序序列。如今须要用一种方法找到这n个数字。

桶排序

依然可用。

分治法

可使用，可是当n较大的时候，实际上就退化成对数字排序的问题。花在递归函数调用上的时间影响较大。

异或

策略是不断使用比特的特征将找n个数的问题转化为找n-1个数的问题。只不太重复循环的时间复杂度就比较高。