斜率优化学习笔记

发现本身傻傻分不清斜率优化和决策单调性→_→，被一些博客误导了。。因而总结一下。萌新们能够先写写[hnoi2008]玩具装箱，并不难。

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数

　　相信有心想学习斜率优化的同志们必定本身摸索着写过[hnoi2008]玩具装箱这道题吧，我刚开始学习斜率优化的时候，也是写了这个，而后似懂非懂的发现，好像斜率优化就是先证实决策单调性，而后再用单调队列维护一下什么的，这不就是套个模板的东西吗→_→。

　　对于某一类型的dp方程$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])}$$

　　其中$a[x],b[x],c[x],d[x]$是关于$x$的函数，且$b$单增。$——————【1】$

　　按照一向的套路，先数学概括法证实决策单调性。

　　1.概括假设：

　　　　假设有${i}$前两个决策点${j,k(j<k)}$，且${k}$的决策要比${j}$好，即：

$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]，j<k——————【2】}$$

　　2.概括推理：

　　　　此时后面有状态${i+1}$，这里咱们为了简单起见，不妨设${a[i+1]=a[i]-v,v>0}$，也就是${a}$单调递减。$${即证：a[i+1]*b[j]+c[j]+d[i+1] >= a[i+1]*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$

$${(a[i]-v)*b[j]+c[j]+d[i+1] >= (a[i]-v)*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$

$${化简得：a[i]*b[j]+v*b[k]+c[j] >= a[i]*b[k]+v*b[j]+c[k]}$$

$${~}$$

$${由【2】得：a[i]*b[j]+c[j] >= a[i]*b[k]+c[k]}$$

$${由【1】得：b[k]>b[j]}$$

$${又\because v>0}$$

$${\therefore v*b[k] >= v*b[j]}$$

$${得证}$$

　　因此，决策单调性是存在的。咱们将由决策单调性得出的式子展开，化成斜率式：

$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]，j<k}$$

$${-a[i]>=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$

　　记斜率$${slope(i,j)=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$

　　而后发现这个东西很符合单调队列的尿性：

1. ${-a[i]>=slope(q[l],q[l+1])}$。由于${q[l]}$在${q[l+1]}$以前加入，那么显然这个式子就表示${q[l]}$决策不如${q[l+1]}$优，咱们能够将队首pop掉。
2. ${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。假设咱们在后面存在一个${a[t]}$使得${-a[t]>=slope(q[r-1],q[r])}$那么等到pop了${q[r-1]}$以后，${-a[t]}$必定也会${>=slope(q[r],i)}$，${q[r]}$也会被pop。因此说${q[r]}$其实是无用的，咱们能够直接将它pop掉。

　　问题就这样优化到了${O(n)}$。

　　回顾一下咱们之因此可使用斜率优化，是由于这个dp方程具备决策单调性；不然咱们推不出斜率式。以后咱们将决策单调性的式子变形为斜率式，当知足斜率式的时候就代表前一个决策不如后一个决策优，一切都是围绕着决策单调性开展的，能够说决策单调性是斜率优化的前提。（那是真的么，欲知后事，请看下文）

　　如今咱们换一个角度来考虑问题，刚刚是直接从”数“的角度进行了严谨的证实，那么咱们如今从”形“的角度来意会。

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形

　　dp方程：$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])，b[j]单增}$$

　　咱们这里沿用上面“数”的条件：${a}$单减，${b}$单增。

　　移项：$${-a[i]*b[j]+f[i]=c[j]+d[i]}$$

　　是否是很像直线的斜截式：${-a[i]}$为直线的斜率；直线过点：${(b[j],c[j]+d[i])}$；${f[i]}$即为直线在Y轴上的截距。

　　

　　能够看出，由于${f[i]}$要尽量小，因此咱们把以前小于${i}$的${j}$画在平面直角坐标系上，一如线性规划，把这条斜线自下往上平移时遇到的第一个点，即能使目前状态有最小值的点。因而咱们须要维护一个下凸壳，把那些确定不会贡献的点删掉。

　　咱们用一个单调队列维护这个凸壳，由于要保证凸壳的下凸性，因此咱们显然能够获得单调队列pop队尾的条件：${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。

　　考虑什么状况下pop队首元素（这里咱们的讨论都是基于${f[i]}$取最小值的状况下的）：

1. 斜率${-a[i]}$单增（由于${a}$单减）。${-a[i]>slope(q[l],q[l+1])}$。
2. 斜率不单调。没法pop队首，二分或者三分查找队列中的最优解。二分作法：假设你要在上凸包上二分找斜率为${k}$的切线。取中间的${mid}$号点，若是${mid+1}$存在且与${mid}$点的斜率小于${k}$，则${l=mid+1}$；若是${mid-1}$存在且与${mid}$点的斜率大于${k}$，则${r=mid-1}$；若是上面两条都不知足，则${mid}$就是切点。

　　不错，你必定已经发现第一种状况所对应的维护方式不是跟以前所说“数”的单调队列维护方式如出一辙吗，没错，其实这只是两种不一样的解题方式所得出来的一样的结果。

　　两种方法各有优缺点吧，“形”的角度比较方便理解，对于更高深的cdq分治维护凸包能够比较清晰的了解。可是遇到复杂的dp方程以及决策单调性证实就得靠“数”了（好比国王饮水记），看状况使用吧。

　　以前说的决策单调性是斜率优化的基础这句话其实并不严谨，像这种从图形角度来求解的斜率优化就并无用到决策单调性。想想若是能证实决策单调性，那么必定就是对${a}$和${b}$的单调性有要求的，不然的话就是什么斜率不单调啦，在凸包上二分啦什么的。

　　这就是斜率优化啦。

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小科普

　　回顾以前斜率优化的运用，它必需要有一个前提条件：${b}$（横坐标）单增。而若是${b[j]}$不单调怎么办呢？还能不能用斜率优化呢？

　　答案是能够的，咱们须要使用CDQ分治或者splay来解决这个问题。

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总结

　　斜率单调暴力移指针
　　斜率不单调二分找答案
　　x坐标单调开单调队列
　　x坐标不单调开平衡树|cdq分治

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参考资料：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100xztv.html

http://tieba.baidu.com/p/3671167462

http://blog.csdn.net/u010336344/article/details/52693858