如何寻找缺失的元素

读完本文，你能够去力扣拿下以下题目：

448.找到全部数组中消失的数字

-----------

以前也有文章写过几个有趣的智力题，今天再聊一道巧妙的题目。

题目很是简单：

给一个长度为 n 的数组，其索引应该在 [0,n)，可是如今你要装进去 n + 1 个元素 [0,n]，那么确定有一个元素装不下嘛，请你找出这个缺失的元素。

这道题不难的，咱们应该很容易想到，把这个数组排个序，而后遍历一遍，不就很容易找到缺失的那个元素了吗？

或者说，借助数据结构的特性，用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来，再遍历 [0,n] 之间的数字，去 HashSet 中查询，也能够很容易查出那个缺失的元素。

排序解法的时间复杂度是 O(NlogN)，HashSet 的解法时间复杂度是 O(N)，可是还须要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。

PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，所有发布在 labuladong的算法小抄，持续更新。建议收藏，按照个人文章顺序刷题，掌握各类算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

第三种方法是位运算。

对于异或运算（^），咱们知道它有一个特殊性质：一个数和它自己作异或运算结果为 0，一个数和 0 作异或运算仍是它自己。

并且异或运算知足交换律和结合律，也就是说：

2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3

而这道题索就能够经过这些性质巧妙算出缺失的那个元素。好比说 nums = [0,3,1,4]：

为了容易理解，咱们假设先把索引补一位，而后让每一个元素和本身相等的索引相对应：

这样作了以后，就能够发现除了缺失元素以外，全部的索引和元素都组成一对儿了，如今若是把这个落单的索引 2 找出来，也就找到了缺失的那个元素。

如何找这个落单的数字呢，只要把全部的元素和索引作异或运算，成对儿的数字都会消为 0，只有这个落单的元素会剩下，也就达到了咱们的目的。

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 先和新补的索引异或一下
    res ^= n;
    // 和其余的元素、索引作异或
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= i ^ nums[i];
    return res;
}

因为异或运算知足交换律和结合律，因此老是能把成对儿的数字消去，留下缺失的那个元素的。

至此，时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(1)，已经达到了最优，咱们是否就应该打道回府了呢？

若是这样想，说明咱们受算法的毒害太深，随着咱们学习的知识愈来愈多，反而容易陷入思惟定式，这个问题其实还有一个特别简单的解法：等差数列求和公式。

题目的意思能够这样理解：如今有个等差数列 0, 1, 2,..., n，其中少了某一个数字，请你把它找出来。那这个数字不就是 sum(0,1,..n) - sum(nums) 嘛？

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 公式：(首项 + 末项) * 项数 / 2
    int expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;

    int sum = 0;
    for (int x : nums) 
        sum += x;
    return expect - sum;

你看，这种解法应该是最简单的，但说实话，我本身也没想到这个解法，并且我去问了几个大佬，他们也没想到这个最简单的思路。相反，若是去问一个初中生，他也许很快就能想到。

作到这一步了，咱们是否就应该打道回府了呢？

若是这样想，说明咱们对细节的把控还差点火候。在用求和公式计算 expect 时，你考虑过整型溢出吗？若是相乘的结果太大致使溢出，那么结果确定是错误的。

PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，所有发布在 labuladong的算法小抄，持续更新。建议收藏，按照个人文章顺序刷题，掌握各类算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

刚才咱们的思路是把两个和都加出来而后相减，为了不溢出，干脆一边求和一边减算了。很相似刚才位运算解法的思路，仍然假设 nums = [0,3,1,4]，先补一位索引再让元素跟索引配对：

咱们让每一个索引减去其对应的元素，再把相减的结果加起来，不就是那个缺失的元素吗？

public int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 新补的索引
    res += n - 0;
    // 剩下索引和元素的差加起来
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        res += i - nums[i];
    return res;
}

因为加减法知足交换律和结合律，因此老是能把成对儿的数字消去，留下缺失的那个元素的。

至此这道算法题目经历九曲十八弯，终于再也没有什么坑了。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

个人 在线电子书 有 100 篇原创文章，手把手带刷 200 道力扣题目，建议收藏！对应的 GitHub 算法仓库 已经得到了 70k star，欢迎标星！