几率统计23——假设检验理论（2）

假设检验其实是用反证法作出非对即错的判断：先假定原假设是对的，而后将抽样数据代入相应的分布中去验证，观察原假设的数值是落在接受域仍是拒绝域，由此作出是接受仍是拒绝原假设的判断。

值得注意的是，不一样于以往严格的数学证实，假设检验是创建在小几率事件原理的基础之上。因为小几率事件也有可能发生，所以并不能百分之百肯定原假设必定不成立，也就是说，原假设也有判断错误的时候。

两种错误类型

假设检验有两种判断错误的类型，统计学家给出了专业的名称：第一类错误和第二类错误。

第一类错误（false reject）：错误地拒绝，H₀是对的，却拒绝了它。也就是说，计算结果落在拒绝域，但真实结果是在接受域。

第二类错误（false accept）：错误地接受，H₀是错的，却接受了它。也就是说，计算结果落在接受域，但真实结果是在拒绝域。

第一类错误也叫Ⅰ 型错误或弃真错误，第二类错误也叫Ⅱ 型错误或存伪错误。我以为仍是忘记这些文绉绉名称，记住false reject和false accept便可，毕竟这两个英文短语更直白，更容易理解。

 

假设检验的理想状况是能过作出与实际相符的正确断言，但因为抽样数据的随机性，根据样本计算的统计量必然会与总体的真实数值存在差别，这种差别可能致使出现四种判断结果：

错误的几率

既然假设检验没法保证百分之百有效，那么咱们就须要研究两类错误出现的几率，由此将假设检验的功效数值化。

 

先来看第一类错误。

第一类错误是在H₀正确的时候错误地却拒绝了它，这就意味着咱们的判断结果落在了拒绝域内：

 

 结果落在拒绝域内的几率与显著性水平一致，所以α的数值决定了出现第一类错误几率：

 

随着α的减少，第一类错误出现的几率也随之减少。当α=0时，第一类错误彻底消失，也就是永远不会拒绝H₀，这有点像过去的“守旧派”对于“法先王”的绝对拥护，不管时代怎么进步，“法先王”都必须服从，任何改革都视为大逆不道。

能够看出，因为α的值很小，因此犯第一类错误的概率也很小。

 

再来看第二类错误。

第二类错误是在H₀错误的时候接受了它，一个本应落在拒绝域内的点却落在了接受域内：

 

 咱们用β表示第二类错误出现的几率，只要α肯定了，β也就肯定了。一个草率的判断是β=1-α，按照这种计算方式，β=0.95，这意味着第二类错误出现的几率高达95%！若是这样，那么假设检验还有什么用？

实际上β的计算比α可贵多。

 　　

咱们延用产品元件的故事。μ₀是改善前整体的均值，μ₁是改善后整体的均值，改善先后的标准差一致，都是σ=6。

原假设H₀：改善前与改善后是同一个正态分布，μ₀=μ₁=600。

备择假设H₁：改善前与改善后是不一样的正态分布，μ₀ =600< μ₁=603。

公司用新技术制造了大量元件，从中屡次抽取容量是m（m≥30）的样本进行检验。根据中心极限定理，样本均值的分布服从均值为整体均值，方差为整体方差1/m的正态分布：

对样本均值进行标准化处理：

使用0.05显著性水平，在标准正态分布下，查表可知临界值是1.645。

当Z₀ > 1.645时，将拒绝H₀假设。

再来看均值的逆运算：

也就是说，若是抽样的均值大于601.802，就应该拒绝相信H₀。

如今能够计算出标准正态分布下β区域的临界值：

 

 

结论是，若是改善后的功率均值是603，那么以此为条件，犯第二类错误的几率是β=0.137。经过β的计算过程能够看出，只有当H₁假设是一个固定的值时，才能计算出β。若是H₁假设不是固定，好比只给出了μ₁ > 603，那么将没法根据①计算出z₁，也就没法进一步求得β。

 

一个常见的问题是，既然一开始就知道了H₀和H₁的均值和方差，为何还要使用标准化处理？直接计算临界值岂不是更简单？

咱们的确能够直接经过计算机解求得X~(μ₀, σ²)时的临界值，但这是整体分布下的临界值，而咱们的假设检验是基于抽样，并不是整体，此时用到的理论是中心极限定理，所以才大费周章地使用标准化形态。

 

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 　　出处：微信公众号 "我是8位的"

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