计蒜客 A1596.蒜头君王国 几率计算(dp)

题目描述

原题连接

有一天，蒜头君当上了国王。蒜头君的王国有 $n$ 坐城市，如今他须要在城市之间修建道路使得城市之间相互联通。
蒜头君是一个不会规划的人，他不知道哪些城市之间必需要有道路，因此对于任意两座城市之间，蒜头军会修建道路的几率为 $p$。
请你计算一下最后修建出来的道路使得 $n$ 座城市都联通的几率。

输入格式

输入包含一个整数 $n(1\le n\le 20)$ 和一个实数 $p(0\le p\le 1)$.

输出格式

输出一行一个实数表示答案，输出结果偏差在 $10^{-5}$ 之内都认为正确。

输入样例

3 0.6

输出样例

0.6480000

分析

参考大佬的题解
题目让求$n$个点都联通的几率$F(n)$。不妨先求一下$n$个点组成的图不连通的几率$G(n)$
考虑n个点组成的图不连通有如下$n-1$中状况:
$1$个点连通, 且这$1$个点组成的连通块, 与其他$n-1$个点没有边相连
$2$个点连通, 且这$2$个点组成的连通块, 与其他$n-2$个点没有边相连
…
$k$个点连通, 且这$k$个点组成的连通块, 与其他$n-k$个点没有边相连
…
$n-1$个点连通, 且这$n-1$个点组成的连通块, 与剩余的$1$个点没有边相连


考虑有$k$个点连通的状况:
首先要选$k$个点, 而第$n$个点必定选,则再从$n-1$个点中选择$k-1$个, 即$C_{n-1}^{k-1}$
而后保证这$k$个点连通, 即$F(k)$
最后保证这$k$的点与其他$n-k$个点没有边相连, 即 $(1-p{)}^{k(n-k)}$ ($p$为两点间修路的几率)
从而根据上述$n-1$种状况求出 $G(n)$, 则 题目所求$F(n)=1-G(n)$

实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 29;
int n;
double p;
double f[N]; // f[i]表示n个点都联通的几率
int c(int a, int b) // 计算组合数 C(a,b), 即从a个点中选b个点
{
    int sum = 1;
    for(int i=1; i<=b; i++) sum = sum*(a-b+i)/i;
    return sum;
}
int main()
{
    cin >> n >> p;
    f[1] = 1, f[2] = p; // 易知: 1个点联通的几率为1, 2个点联通几率为p;
    for(int i=3; i<=n; i++)
    {
        double fail = 0; // 表示i个点不联通的几率
        for(int j=1; j<=i-1; j++)
        {
            fail += ( c(i-1, j-1)*f[j]*pow(1.0-p,j*(i-j)) );
        }
        f[i] = 1.0-fail;
    }
    printf("%.7lf",f[n]);
    return 0;
}

关于上述实现中组合数$C_n^m$的计算