手把手教系列之FIR滤波器设计

时间 2020-05-23

标签手把手系列 fir 滤波器设计繁體版

原文原文链接

【导读】：前面的文章介绍了移动平均滤波器、IIR滤波器、梳状滤波器，今天来谈谈FIR滤波器的设计实现。算法

本篇文章依然采用4W1H进行描述，从What Why Where When How几个维度展开。为了便于理解4W1H，依然把5W1H的图附上。微信

FIR滤波器之What？

LTI线性时不变系统冲激响应按照其是有限长仍是无限长可分为FIR(Finite Impulse Response)有限长冲激响应系统以及无限长冲激响应IIR(Infinite Impulse Response)系统。FIR是全零点系统，也即Z传递函数在Z复平面极点全在Z=0处。至于这些概念是如何得来的，不是本文重点，若是有兴趣深究，能够查阅数字信号处理方面的书籍。函数

\[H(Z)=\sum_{i=0}^{N-1}h(n)Z^{-n} \]

FIR滤波器具备多种实现形式，好比直接型、二阶级联型、Lattice结构，都只是上述基本传递函数的不一样数学表达形式，没有本质区别，只是在具体算法实现上各具特色。这里将二阶级联形式描述以下。工具

二阶级联的意思是将上述传递函数分解为二阶多项式块连乘的形式，其数学表达以下：测试

\[H(Z)=\prod_{k=0}^M(b_{0k}+b_{1k}Z^{-1}+b_{2k}Z^{-2}) \]

FIR滤波器之Why？

为啥称前面的传递函数形式的系统为有限长冲激响应呢？要从概念上理解，首先须从冲激响应提及，什么是系统的冲激响应？系统在单位冲激函数激励下引发的零状态响应被称之为该系统的“冲激响应”。spa

那么什么又是是冲激函数呢？设计

单位冲激函数（Unit-Impulse Function）是信号与系统学科中的一个重要概念。它是一个面积等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。当这个脉冲的宽度越来越小时，它的幅度就越来越大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无限大，这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。在实际工程中，像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。在理论上定义这样一个函数，彻底是为了分析研究方便的须要。<百度百科>excel

单位冲激函数又称为狄拉克函数，定义为：code

当\(t\neq{0}\)时, \(\delta(t)=0\)
\(\int_{{-}\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\)

这玩意纯数学表达仅为从严谨角度出发，却不易懂，在数字信号处理领域或者称为离散系统领域，定义单位冲激（也有的称为单位采样/单位函数/单位脉冲，管它张3、李四）这里只须要明白其物理含义便可：blog

\[\delta(n)=\begin{cases} 1, (n=0) \\ 0, (n\neq0) \end{cases} \]

那么所谓单位冲激函数响应，就是一个系统输入这样一个能量激励，在输出端所观测到的响应信号，那么对于FIR系统而言，其响应在通过有限长的序列后，最后将稳定在0，这就是有限长冲激响应的内涵，而无限长则是有这样一个冲激激励后，其响应通过无限长序列后仍不会稳定到0。再进一步思考，为何呢？由于FIR系统输出不会反馈回输入端，则保证其输出响应是有限长序列，所以，“有限冲激响应”几乎与“无反馈”等价。可是，若是采用反馈，但脉冲响应是有限的，则滤波器仍然是FIR。一个示例是移动平均滤波器，其中每次有新采样进入时都会减去（反馈）第N个先前的采样。即便使用反馈，该滤波器也具备有限的脉冲响应：在N个采样样本以后，输出将始终为零。IIR滤波器使用反馈，所以，当输入脉冲时，理论上输出会无限地振荡。因此对于这两个概念的区分从字面去理解便可。

在实践中，即便是IIR系统，其脉冲响应也一般接近零，而且能够忽略不计。可是，引发IIR或FIR响应的物理系统是不一样的，这就是区别的重要性。例如，由电阻器，电容器和/或电感器（也许还有线性放大器）组成的模拟电子滤波器一般是IIR滤波器。另外一方面，基于不使用反馈的抽头延迟线的离散时间滤波器（一般是数字滤波器）必然是FIR滤波器。模拟滤波器中的电容器（或电感器）具备“记忆特性也即储能特性”，而且其内部状态不会因脉冲而彻底放松。可是在后一种状况下，在脉冲到达抽头延迟线的末端以后，系统再也不对该脉冲进行存储，并返回到其初始状态。超出该点的脉冲响应刚好为零。多说一句，在使用IIR时，是否稳定包括在模拟电路设计时，须要考虑的一个重要指标就是其系统的相位裕度的概念。有兴趣的能够去研究一下。

FIR滤波器之Where？

FIR滤波器的应用领域很是的普遍：

音频信号处理领域，会在信号处理层大量运用FIR滤波器进行信号滤波
Sigma-Delta ADC芯片内部就利用数字逻辑电路实现了FIR滤波器
涉及到采集信号的仪器仪表领域广为应用
系统辨识领域，对于系统建模也经常采用滤波器滤除采集信号，以消除噪声提升建模的准确性
图像处理领域也广为应用
......

说了这么多，就是想说这个东东很是有用，我的认为这是电子类开发工程师进阶神器，值得深刻研究，反复探究，这也是为何花这么多精力写这个系列的初心，但愿本身的一些经验你能帮助到其余的人。因此若是你没有这方面的经验，恰好看到这系列的文章，还请帮忙转发分享以帮助到更多的人，哈哈哈。固然若是您是这方面的行家里手若是发现文中有错误或者须要改进的地方，也真诚的期待能告诉与我，帮助我纠正错误。因此导读中所说恳请指正，绝非套话。

FIR滤波器之When？

当实现传感器时，我的建议首先理清楚信号链模型，信号的频域带宽，是否有潜在混入噪声的可能。是故我的认为：

若是在硬件电路处理后任然有噪声，此时就能够考虑采用滤波器，若是所用芯片算力不错，就能够考虑采用FIR滤波器
若是在硬件也能实现有源滤波器能解决产品中的噪声干扰，可是发现硬件的方法须要成本比较高，或者PCB面积受限时，也推荐考虑采用数字滤波器实现。由于每每有源滤波器要实现一个比较好的通频带高Q值时，其阶数每每很高，并且可能须要一些特殊规格的电阻电容实现所需的频带，此时数字滤波器仅须要一段代码搞定，并且效果每每比硬件滤波器更好也更灵活。
若是在系统中发现采用IIR拓扑类型滤波器没法知足线性相位需求，或者发现使用IIR滤波器，滤波器输出出现严重失真或者不稳定现象时，推荐考虑采用FIR滤波器。
再好比你是用FPGA设计一个系统，也须要实现模拟信号采集，此时也能够考虑直接用数字电路直接实现FIR滤波器，由于FPGA的硬并行特性为实现高阶FIR滤波器提供了很是好硬件基础。
......

FIR滤波器之How？

设计FIR滤波器从书本知识，能够发现有窗函数法、切比雪夫逼近法、最小均方差等方法，这些方法从数学理论上给出了设计原理，但做为工程师而言，我的认为只须要理解其概念内涵便可。学以至用才是目的，因此强大的MATLAB 工具fdatool以及实现了这些基本的设计方法。固然若是对于MATLAB函数很熟悉，直接来段MATLAB程序效果也是同样的。这里仍然利用fdatool来示例如何设计实现FIR滤波器。

本文以实现采样频率48kHz，带宽为100Hz～10KHz带通滤波器，假定是一个麦克风语音采集系统，人的发声频率在100Hz(男低音)到10000Hz(女高音)范围内。

假设设计一个512阶的FIR带通滤波器，其指标为：

Fstop1为60Hz, Fpass1为100Hz
Fpass2为10000Hz, Fstop2为10200Hz
Wstop1 为40dB,Wstop2 为40dB,

其幅频响应为：

相频响应以下图，可见在通频带内，随频率的增长，其相位延迟也是线性增长的，这就是线性相位的含义。

前面说到冲激响应，这里将图附上帮助理解。

其参数太长就不贴在这里了，直接放到测试代码中。

接下来就进行C代码实现，由其Z传递函数，比较容易获得其差分方程为：

\[y[n]=\sum_{i=0}^{N}h_ix[n-i] \]

C语言实现及测试程序以下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>

/*长度应为阶数+1*/
#define FIR_RANK  64
typedef float E_SAMPLE;
typedef float E_COEFF;

/*定义移动平均寄存器历史状态*/
typedef struct _t_FIR_STATE
{
    E_SAMPLE x[FIR_RANK];
    int index;
}t_FIR_STATE;
typedef struct _t_FIR_COFF
{
    E_COEFF coeff[FIR_RANK+1];
}t_FIR_COFF;

void fir_init(t_FIR_STATE * pFir)
{
    memset(pFir,0,sizeof(t_FIR_STATE));
    pFir->index = -1;
}

E_SAMPLE fir_filter(t_FIR_STATE * pFir,const t_FIR_COFF *pCff,E_SAMPLE xn)
{
    double yn=0;
    int i=0;
    if(pFir->index==-1)
    {
        for(i=0;i<FIR_RANK;i++)
        {
            pFir->x[i] = xn;
        }
        pFir->index = FIR_RANK-1;
    }

    //if(pCmf->index<FIR_RANK-1)
    yn = pCff->coeff[0]*xn;
    for(i=pFir->index+1;i<FIR_RANK;i++)
    {
        yn += pCff->coeff[i-pFir->index]*pFir->x[i];
    }

    for(i=0;i<=pFir->index;i++)
    {
        yn += pCff->coeff[FIR_RANK+i-pFir->index]*pFir->x[i];
    }

    /*存储yn为下次迭代准备*/
    pFir->x[pFir->index] = xn;


    if(pFir->index==0)
        pFir->index = FIR_RANK-1;
    else
        pFir->index--;

    return yn;
}

#define SAMPLE_RATE 20000.0f
#define SAMPLE_SIZE 1024
#define PI 3.415926f
const t_FIR_COFF coff={
-0.011262440038163873,-0.013943401141922421,-0.0081737662228137248,-0.0098154763556324871,
-0.02113385595071398,-0.02217110374674186, -0.0086760432252453272,-0.0053777731960091618,
-0.020684485378668873,-0.026487927162555332,-0.0099598536658154907,-0.0020760557762302574,
-0.020234665687863043,-0.030631983578413714,-0.010974822973539177, 0.0018520388094555051,
-0.019945227624679929,-0.035904990372740073,-0.011725945979530706, 0.0077957069084101244,
-0.019771168997491595,-0.044197538806107613,-0.012256200606615813, 0.018808015681099421,
-0.01967177670413162, -0.06116090480347313, -0.012595538855093001, 0.047238864700837428,
-0.019621294906038051,-0.12211186053365741,-0.012761289558492961, 0.30206303190057837,
 0.4803940881892042,   0.30206303190057837,-0.012761289558492961,-0.12211186053365741,
-0.019621294906038051, 0.047238864700837428,-0.012595538855093001,-0.06116090480347313,
-0.01967177670413162,  0.018808015681099421,-0.012256200606615813,-0.044197538806107613,
-0.019771168997491595, 0.0077957069084101244,-0.011725945979530706,-0.035904990372740073,
-0.019945227624679929, 0.0018520388094555051,-0.010974822973539177,-0.030631983578413714,
-0.020234665687863043,-0.0020760557762302574,-0.0099598536658154907,-0.026487927162555332,
-0.020684485378668873,-0.0053777731960091618,-0.0086760432252453272,-0.02217110374674186,
-0.02113385595071398, -0.0098154763556324871,-0.0081737662228137248,-0.013943401141922421,
-0.011262440038163873
};
int main()
{
    E_SAMPLE rawSin[SAMPLE_SIZE];
    E_SAMPLE outSin[SAMPLE_SIZE];

    t_FIR_STATE fir;

    FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+");
    if(pFile==NULL)
    {
        printf("simulationSin.csv opened failed");
        return -1;
    }

    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        rawSin[i]  = 5*sin(2*PI*20*i/SAMPLE_RATE);//+rand()%10;
        rawSin[i] += 5*sin(2*PI*7000*i/SAMPLE_RATE);
        rawSin[i] += 10*sin(2*PI*2500*i/SAMPLE_RATE);
    }

    /*初始化*/
    fir_init(&fir);
    /*滤波*/
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        outSin[i]=fir_filter(&fir,&coff,rawSin[i]);
    }

    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",rawSin[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",outSin[i]);
    }

    fclose(pFile);

    return 0;
}

一样利用excel生成波形：

可见滤波效果不错。下面进行总结：

FIR滤波器与IIR滤波器相比的优点：

能够很容易地将它们设计为“线性相位”（一般是）。简而言之，线性相位滤波器会延迟输入信号，但不会使其相位失真。
很容易实现。在大多数DSP微处理器上，能够经过循环一条指令来完成FIR计算。
适合于多速率应用。所谓多速率，是指“抽取”（下降采样率），“内插”（提升采样率）或二者兼而有之。有兴趣的可进一步深刻研究，不管是抽取仍是插值，FIR滤波器的使用均可以省略某些计算，从而提供了重要的计算效率。相反，若是使用IIR滤波器，则即便要丢弃每一个输出，每一个输出也必须单独计算。
具备使人满意的数值属性。实际上，大部分DSP滤波器都必须使用有限精度算法（即有限的定点位数）来实现。因为使用了反馈，所以在IIR滤波器中使用有限精度算术会引发严重的偏差问题，可是没有反馈的FIR滤波器一般可使用更少的位来实现，而且设计人员须要解决的与非理想算术有关的实际问题也更少。
可使用分数算法来实现。与IIR滤波器不一样，始终可使用幅度小于1.0的系数来实现FIR滤波器。（若是须要，能够在FIR滤波器的输出处调整其总增益。）使用定点DSP时，这是一个重要的考虑因素，由于它使实现更加简单。

FIR滤波器与IIR滤波器相比的劣势：

须要更多的内存和/或计算才能实现给定的滤波器响应特性。并且，某些响应对于用FIR滤波器不易实现，由于阶数过高。

另外若是使用的芯片具备乘累加指令，则很是利于实现FIR滤波器。

文章出自微信公众号：嵌入式客栈，更多内容，请关注本人公众号,严禁商业使用，违法必究