哈达马乘积

目录

• 一 写在开头
  • 1.1 本文内容
• 二 哈达马乘积（Hadamard Product）
  • 2.1 哈达马乘积定义及其性质
  • 2.2 哈达马乘积的应用

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一 写在开头

1.1 本文内容

机器学习中的一个小概念——哈达马乘积（Hadamard Product）及其性质。

二 哈达马乘积（Hadamard Product）

2.1 哈达马乘积定义及其性质

对于两个同为\(m \times n\)阶的矩阵\(A\)和\(B\)，则\(A\)和\(B\)的哈达马乘积定义为：

\[(A \circ B)_{i,j} = (A)_{i,j}(B)_{i,j}\]

好比，这是一个哈达马乘积的实例：

\[ \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right] \circ \left[ \begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11}\times b_{11} & a_{12}\times b_{12} & a_{13}\times b_{13}\\ a_{21}\times b_{21} & a_{22}\times b_{22} & a_{23}\times b_{23}\\ a_{31}\times b_{31} & a_{32}\times b_{32} & a_{33}\times b_{33} \end{array} \right] \]

注意，哈达马乘积要求矩阵\(A\)和\(B\)必须具备相同的阶。

易知，哈达马乘积具备以下的性质：
\[A \circ B = B \circ A\]
\[A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C\]
\[A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C\]

2.2 哈达马乘积的应用

在深度学习框架TensorFlow中有计算哈达马乘积的API——tf.multiply()。下面是在TensorFlow中的一个具体实例。

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

import tensorflow as tf

x = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
with tf.Session() as session:
    print(session.run(tf.multiply(x, x)))

'''输出结果为：
[[ 1  4  9]
 [16 25 36]
 [49 64 81]]
'''