[Scikit-learn] 1.1 Generalized Linear Models - Logistic regression & Softmax

时间 2019-11-18

标签 scikit learn 1.1 generalized linear models logistic regression softmax 栏目应用数学繁體版

原文原文链接

二分类：Logistic regressionphp

多分类：Softmax分类函数html

对于损失函数，咱们求其最小值，git

对于似然函数，咱们求其最大值。算法

Logistic是loss function，即：shell

　　在逻辑回归中，选择了 “对数似然损失函数”，L(Y,P(Y|X)) = -logP(Y|X)。app

　　对似然函数求最大值，其实就是对对数似然损失函数求最小值。dom

Logistic regression, despite its name, is a linear model for classification rather than regression. 机器学习

（但非回归，实际上是分类，经过后验几率比较，那么如何求MLE就是收敛的核心问题）ide

逻辑回归与正则化

As an optimization problem, binary class L2 penalized logistic regression minimizes the following cost function:函数

Similarly, L1 regularized logistic regression solves the following optimization problem

Optimal Solvers

逻辑回归提供的四种 “渐近算法”

The solvers implemented in the class LogisticRegression are “liblinear”, “newton-cg”, “lbfgs” and “sag”: （收敛算法，例如梯度降低等）

“lbfgs” 和 “newton-cg” 只支持L2罚项，而且对于一些高维数据收敛很是快。L1罚项产生稀疏预测的权重。

“liblinear” 使用了基于Liblinear的坐标降低法(CD)。

　　对于L1罚项， sklearn.svm.l1_min_c 容许计算C的下界以得到一个非”null” 的模型（全部特征权重为0）。

　　这依赖于很是棒的一个库 LIBLINEAR library，用在scikit-learn中。然而，CD算法在liblinear中的实现没法学习一个真正的多维（多类）的模型；反而，最优问题被分解为 “one-vs-rest” 多个二分类问题来解决多分类。

　　因为底层是这样实现的，因此使用了该库的 LogisticRegression 类就能够做为多类分类器了。

特色分析

LogisticRegression 使用 “lbfgs” 或者 “newton-cg” 程序来设置 multi_class 为 “”，则该类学习了一个真正的多类逻辑回归模型，也就是说这种几率估计应该比默认 “one-vs-rest” 设置要更加准确。

可是 “lbfgs”, “newton-cg” 和 “sag” 程序没法优化含L1罚项的模型，因此”multinomial” 的设置没法学习稀疏模型。

“sag” 程序使用了随机平均梯度降低（ Stochastic Average Gradient descent）。它没法解决多分类问题，并且对于含L2罚项的模型有局限性。然而在超大数据集下计算要比其余程序快不少，当样本数量和特征数量都很是大的时候。

In a nutshell, one may choose the solver with the following rules:

Case	Solver
Small dataset or L1 penalty	“liblinear”
Multinomial loss or large dataset	“lbfgs”, “sag” or “newton-cg”
Very Large dataset	“sag”

注：

For large dataset, you may also consider using SGDClassifier(Stochastic Gradient Descent) with ‘log’ loss.

Goto: [Scikit-learn] 1.5 Generalized Linear Models - Stochastic Gradient Descent

数学原理

原理大放送

Ref: 机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）

Ref: 对于logistic函数的交叉熵损失函数

(a) 几率模型 - Logistic Regression

将 “参数”与“变量”的关系转化为了几率关系；σ是sigmoid函数。

本质就是：转化为几率的思惟模式；转化的方式有不少种，这种相对最好。

LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归。

(b) 代价函数 - MLE

LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。

似然做为 "cost function"

【交叉熵】

这个似然的角度得出的上述公式结论，其实也就是交叉熵：goto 简单的交叉熵损失函数，你真的懂了吗？

(c) 优化似然

Log 似然做为 "cost function" 会容易计算一些。

(d) 渐近求解

导数 = 0：但貌似很差求，便有了 solver (“liblinear”, “newton-cg”, “lbfgs” and “sag”)。

其中：solver = “sag”时，参考：[Scikit-learn] 1.5 Generalized Linear Models - SGD for Classification中的

clf = SGDClassifier(loss="log", alpha=0.01, n_iter=200, fit_intercept=True)

一个 loss function 对应一堆 solvers；

一个 solver 对应一堆 loss functions；

逼近的过程形式化为迭代公式：

Logistic 代码实现

逻辑实现

from __future__ import print_function import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the logistic function
def logistic(z): return 1 / (1 + np.exp(-z))　　` # Plot the logistic function
z = np.linspace(-6,6,100) plt.plot(z, logistic(z), 'b-')　　// <-- 画图 plt.xlabel('$z$', fontsize=15) plt.ylabel('$\sigma(z)$', fontsize=15) plt.title('logistic function') plt.grid() plt.show()

Result:

求导实现

# Define the logistic function
def logistic_derivative(z): return logistic(z) * (1 - logistic(z))




 # Plot the derivative of the logistic function
z = np.linspace(-6,6,100) plt.plot(z, logistic_derivative(z), 'r-')　　// <-- 画图 plt.xlabel('$z$', fontsize=15) plt.ylabel('$\\frac{\\partial \\sigma(z)}{\\partial z}$', fontsize=15) plt.title('derivative of the logistic function') plt.grid() plt.show()

Result:

线性多分类

Ref: LogisticRegression（参数解密）

Logistic Regression (aka logit, MaxEnt) classifier.

多分类策略

‘multi_class’ option :

- ‘ovr’: one-vs-rest (OvR)
- 'multinomial': cross- entropy loss【it is supported only by the ‘lbfgs’, ‘sag’ and ‘newton-cg’ solvers.】

正则化的参数

参数 penalty

【str, ‘l1’, ‘l2’, ‘elasticnet’ or ‘none’, optional (default=’l2’)】

This class implements regularized logistic regression using the ‘liblinear’ library, ‘newton-cg’, ‘sag’ and ‘lbfgs’ solvers.

参数 solver

【str, {‘newton-cg’, ‘lbfgs’, ‘liblinear’, ‘sag’, ‘saga’}, optional (default=’liblinear’)】

It can handle both dense and sparse input. Use C-ordered arrays or CSR matrices containing 64-bit floats for optimal performance; any other input format will be converted (and copied).

- The ‘newton-cg’, ‘sag’, and ‘lbfgs’ solvers support only L2 regularization with primal formulation.
- The ‘liblinear’ solver supports both L1 and L2 regularization, with a dual formulation only for the L2 penalty.

参数 C

【float, default: 1.0】

Inverse of regularization strength; must be a positive float. Like in support vector machines, smaller values specify stronger regularization.

Answer: 参数越小则代表越强的正则化：正则项系数的倒数

参数 multi_class

【str, {‘ovr’, ‘multinomial’}, default: ‘ovr’】

Multiclass option can be either ‘ovr’ or ‘multinomial’. If the option chosen is ‘ovr’, then a binary problem is fit for each label. Else the loss minimised is the multinomial loss fit across the entire probability distribution. Works only for the ‘newton-cg’, ‘sag’ and ‘lbfgs’ solver.

New in version 0.18: Stochastic Average Gradient descent solver for ‘multinomial’ case.

正则化逻辑回归

例一：L1 Penalty and Sparsity in Logistic Regression

# 有点仅一层的logit NN的意思

""" ============================================== L1 Penalty and Sparsity in Logistic Regression ============================================== Comparison of the sparsity (percentage of zero coefficients) of solutions when L1 and L2 penalty are used for different values of C. We can see that large values of C give more freedom to the model. Conversely, smaller values of C constrain the model more. In the L1 penalty case, this leads to sparser solutions. We classify 8x8 images of digits into two classes: 0-4 against 5-9. The visualization shows coefficients of the models for varying C. """

print(__doc__) # Authors: Alexandre Gramfort <alexandre.gramfort@inria.fr> # Mathieu Blondel <mathieu@mblondel.org> # Andreas Mueller <amueller@ais.uni-bonn.de> # License: BSD 3 clause

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn import datasets from sklearn.preprocessing import StandardScaler digits = datasets.load_digits() X, y = digits.data, digits.target X = StandardScaler().fit_transform(X) # 四舍五如
y = (y > 4).astype(np.int) # Set regularization parameter
for i, C in enumerate((100, 1, 0.01)): # turn down tolerance for short training time
    clf_l1_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l1', tol=0.01) clf_l2_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l2', tol=0.01) clf_l1_LR.fit(X, y) clf_l2_LR.fit(X, y) coef_l1_LR = clf_l1_LR.coef_.ravel() coef_l2_LR = clf_l2_LR.coef_.ravel() # coef_l1_LR contains zeros due to the
    # L1 sparsity inducing norm
 sparsity_l1_LR = np.mean(coef_l1_LR == 0) * 100 sparsity_l2_LR = np.mean(coef_l2_LR == 0) * 100

    print("C=%.2f" % C) print("Sparsity with L1 penalty: %.2f%%" % sparsity_l1_LR) print("score with L1 penalty: %.4f" % clf_l1_LR.score(X, y)) print("Sparsity with L2 penalty: %.2f%%" % sparsity_l2_LR) print("score with L2 penalty: %.4f" % clf_l2_LR.score(X, y)) l1_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * i + 1) l2_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * (i + 1)) if i == 0: l1_plot.set_title("L1 penalty") l2_plot.set_title("L2 penalty") l1_plot.imshow(np.abs(coef_l1_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest', cmap='binary', vmax=1, vmin=0) l2_plot.imshow(np.abs(coef_l2_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest', cmap='binary', vmax=1, vmin=0) plt.text(-8, 3, "C = %.2f" % C) l1_plot.set_xticks(()) l1_plot.set_yticks(()) l2_plot.set_xticks(()) l2_plot.set_yticks(()) plt.show()

Result:

C=100.00 Sparsity with L1 penalty: 6.25% score with L1 penalty: 0.9104 Sparsity with L2 penalty: 4.69% score with L2 penalty: 0.9098 C=1.00 Sparsity with L1 penalty: 9.38% score with L1 penalty: 0.9098 Sparsity with L2 penalty: 4.69% score with L2 penalty: 0.9093 C=0.01 Sparsity with L1 penalty: 85.94% score with L1 penalty: 0.8598 Sparsity with L2 penalty: 4.69% score with L2 penalty: 0.8915

Jeff：如上，权重的归零化显而易见。

例二：Path with L1- Logistic Regression

print(__doc__) # Author: Alexandre Gramfort <alexandre.gramfort@inria.fr> # License: BSD 3 clause

from datetime import datetime import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn import linear_model from sklearn import datasets from sklearn.svm import l1_min_c iris = datasets.load_iris() X = iris.data y = iris.target X = X[y != 2] y = y[y != 2] X -= np.mean(X, 0) ############################################################################### # Demo path functions cs = l1_min_c(X, y, loss='log') * np.logspace(0, 3) # 对正则化的强度取不一样值，实验各自效果 print("Computing regularization path ...") start = datetime.now() clf = linear_model.LogisticRegression(C=1.0, penalty='l1', tol=1e-6) coefs_ = [] for c in cs: clf.set_params(C=c) clf.fit(X, y) coefs_.append(clf.coef_.ravel().copy()) print("This took ", datetime.now() - start) coefs_ = np.array(coefs_) plt.plot(np.log10(cs), coefs_) ymin, ymax = plt.ylim() plt.xlabel('log(C)') plt.ylabel('Coefficients') plt.title('Logistic Regression Path') plt.axis('tight') plt.show()

系数的变化

coefs_ Out[30]: array([[ 0. , 0. , 0. , 0. ], [ 0. , 0. , 0.17813685, 0. ], [ 0. , 0. , 0.3384641 , 0. ], ..., [ 0. , -1.29412716,  5.71841258, 0. ], [ 0. , -1.41538897,  5.82221819, 0. ], [ 0. , -1.53535948,  5.92878532,  0.        ]])

Result:

Jeff：四个系数对应四根线，相似于trace plot，其实仍是在说L1, L2的东西。

Softmax 多分类

Ref: Softmax函数解密

Ref: http://www.cnblogs.com/daniel-D/archive/2013/05/30/3109276.html

Ref: http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

立体 sigmoid

先来个炫酷的立体sigmoid做为开场：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import cm # Define the softmax function
def softmax(z): return np.exp(z) / np.sum(np.exp(z)) #-------------------------------------------------------------------------- # Plot the softmax output for 2 dimensions for both classes # Plot the output in function of the weights # Define a vector of weights for which we want to plot the ooutput
nb_of_zs = 200 zs = np.linspace(-10, 10, num=nb_of_zs) # input 
zs_1, zs_2 = np.meshgrid(zs, zs) # generate grid
y = np.zeros((nb_of_zs, nb_of_zs, 2)) # initialize output
 # Fill the output matrix for each combination of input z's
for i in range(nb_of_zs): for j in range(nb_of_zs): y[i,j,:] = softmax(np.asarray([zs_1[i,j], zs_2[i,j]]))
 # Plot the cost function surfaces for both classes
fig = plt.figure() # Plot the cost function surface for t=1
ax = fig.gca(projection='3d') surf = ax.plot_surface(zs_1, zs_2, y[:,:,0], linewidth=0, cmap=cm.coolwarm) ax.view_init(elev=30, azim=70) cbar = fig.colorbar(surf) ax.set_xlabel('$z_1$', fontsize=15) ax.set_ylabel('$z_2$', fontsize=15) ax.set_zlabel('$y_1$', fontsize=15) ax.set_title ('$P(t=1|\mathbf{z})$') cbar.ax.set_ylabel('$P(t=1|\mathbf{z})$', fontsize=15) plt.grid() plt.show()

Result:

基本原理

在数字手写识别中，咱们要识别的是十个类别，每次从输入层输入 28×28 个像素，输出层就能够获得本次输入可能为 0, 1, 2… 的几率。

简易版本的，看起来更直观:

OK, 左边是输入层，输入的 x 经过中间的黑线 w (包含了 bias 项)做用下，获得 w.x, 到达右边节点，右边节点经过红色的函数将这个值映射成一个几率，预测值就是输入几率最大的节点，这里可能的值是 {0, 1, 2}。

在实现Softmax回归时，将 $\textstyle \theta$ 用一个 $\textstyle k \times(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行罗列起来获得的，以下所示： (k是类别数，n是输入channel数)

$\theta = \begin{bmatrix}\mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\\mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\\vdots \\\mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\\end{bmatrix}$

在 softmax regression 中，输入的样本属于第 j 类的几率能够写成：

注意到，这个回归的参数向量减去一个常数向量，会有什么结果：

没有变化！(指数函数的无记忆性)

若是某一个向量是代价函数的极小值点，那么这个向量在减去一个任意的常数向量也是极小值点，这是由于 softmax 模型被过分参数化了。

进一步而言，若是参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代价函数 $\textstyle J(\theta)$ 的极小值点，那么 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots,\theta_k - \psi)$ 一样也是它的极小值点，其中 $\textstyle \psi$ 能够为任意向量。所以使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是惟一的。

（有趣的是，因为 $\textstyle J(\theta)$ 仍然是一个凸函数，所以梯度降低时不会遇到局部最优解的问题。可是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接致使采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 $\textstyle \psi = \theta_1$ 时，咱们老是能够将 $\textstyle \theta_1$ 替换为 $\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$ （即替换为全零向量），而且这种变换不会影响假设函数。所以咱们能够去掉参数向量 $\textstyle \theta_1$ （或者其余 $\textstyle \theta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化所有的 $\textstyle k\times(n+1)$ 个参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}$ ），咱们能够令 $\textstyle \theta_1 =\vec{0}$ ，只优化剩余的 $\textstyle (k-1)\times(n+1)$ 个参数，这样算法依然可以正常工做。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，每每保留全部参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$ ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时咱们须要对代价函数作一个改动：加入权重衰减。权重衰减能够解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

既然模型被过分参数化了，咱们就事先肯定一个参数，好比将 w1 替换成全零向量，将 w1.x = 0 带入 binomial softmax regression ，获得了咱们最开始的二项 logistic regression (能够动手算一算), 用图就能够表示为：

(注：虚线表示为 0 的权重，在第一张图中没有画出来，能够看到 logistic regression 就是 softmax regression 的一种特殊状况)

权重衰减 - 正则化

咱们经过添加一个权重衰减项 $\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数（L2原理？），这个衰减项会惩罚过大的参数值，如今咱们的代价函数变为：

$\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2\end{align}$

有了这个权重衰减项之后 ( $\textstyle \lambda > 0$ )，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就能够保证获得惟一的解了。此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，而且由于 $\textstyle J(\theta)$ 是凸函数，梯度降低法和 L-BFGS 等算法能够保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，咱们须要求得这个新函数 $\textstyle J(\theta)$ 的导数，以下：

$\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j\end{align}$

经过最小化 $\textstyle J(\theta)$ ，咱们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

若是你在开发一个音乐分类的应用，须要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，仍是使用 logistic 回归算法创建 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，

- 例如，若是你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你能够假设每一个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 $k = 4 的softmax回归。（若是在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你能够添加一个“其余类”，并将类别数 k 设为5。）$
- 若是你的四个类别以下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并非互斥的。例如：一首歌曲能够来源于影视原声，同时也包含人声。这种状况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每一个新的音乐做品，咱们的算法能够分别判断它是否属于各个类别。

如今咱们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不一样类别中。

- (i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归仍是 3个logistic 回归分类器呢？ —— 三个类别是互斥的，所以更适于选择softmax回归分类器。
- (ii) 如今假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归仍是多个 logistic 回归分类器呢？—— 创建三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

例三： Plot multinomial and One-vs-Rest Logistic Regression

""" ==================================================== Plot multinomial and One-vs-Rest Logistic Regression ==================================================== Plot decision surface of multinomial and One-vs-Rest Logistic Regression. The hyperplanes corresponding to the three One-vs-Rest (OVR) classifiers are represented by the dashed lines. """
print(__doc__) # Authors: Tom Dupre la Tour <tom.dupre-la-tour@m4x.org> # License: BSD 3 clause

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.datasets import make_blobs from sklearn.linear_model import LogisticRegression # make 3-class dataset for classification
centers = [[-5, 0], [0, 1.5], [5, -1]] X, y = make_blobs(n_samples=1000, centers=centers, random_state=40) transformation = [[0.4, 0.2], [-0.4, 1.2]] X = np.dot(X, transformation) for multi_class in ('', 'ovr'): clf = LogisticRegression(solver='sag', max_iter=100, random_state=42, multi_class=multi_class).fit(X, y) # print the training scores
    print("training score : %.3f (%s)" % (clf.score(X, y), multi_class)) # create a mesh to plot in
    h = .02  # step size in the mesh
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1 y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1 xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h)) # Plot the decision boundary. For that, we will assign a color to each
    # point in the mesh [x_min, x_max]x[y_min, y_max].
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]) # Put the result into a color plot
    Z = Z.reshape(xx.shape) plt.figure() plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired) plt.title("Decision surface of LogisticRegression (%s)" % multi_class) plt.axis('tight') # Plot also the training points
    colors = "bry"
    for i, color in zip(clf.classes_, colors): idx = np.where(y == i) plt.scatter(X[idx, 0], X[idx, 1], c=color, cmap=plt.cm.Paired) # Plot the three one-against-all classifiers
    xmin, xmax = plt.xlim() ymin, ymax = plt.ylim() coef = clf.coef_ intercept = clf.intercept_ def plot_hyperplane(c, color): def line(x0): return (-(x0 * coef[c, 0]) - intercept[c]) / coef[c, 1] plt.plot([xmin, xmax], [line(xmin), line(xmax)], ls="--", color=color) for i, color in zip(clf.classes_, colors): plot_hyperplane(i, color) plt.show()

Result:

Jeff：可见multinomial是正确的选择。

End.