最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数，又分别被称为gcd与lcm，在引入该概念以前，咱们先来看看整除性问题。

定义：设a，b是两个整数，且b ≠ 0。若是存在整数c，使a=bc，则称a被b整除，或b整除a，记做 b | a。

最大公约数与最小公倍数的性质：

（1）若a | m，b | m，则 lcm(a,b) | m 。

（2）若d | a，d | b，则d | gcd(a,b)。

（3）lcm(a,b) = ab / gcd(a,b)。

（4）设m，a，b是正整数，则 lcm(ma,mb) = m*gcd(a,b)。

（5）设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数

         则有：gcd(a,b) = gcd(b,r)

由性质5引申出展转相除法，又称欧几里得算法

long long gcd(long long a, long long b)
{
    if (a < b)return gcd(b, a);
    if (b == 0)return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

通过优化的分奇数和偶数的欧几里得算法

long long gcd(long long x, long long y)
{
    if (x < y) return gcd(y, x);//大数放在前面
    if (y == 0) return x;
    else {
        if (!(x % 2)) {
            if (!(y % 2))
                return 2 * gcd(x >> 1, y >> 1);//x，y皆为偶数
            else
                return gcd(x >> 1, y);//x为偶数，y是奇数
        }
        else
        {
            if (!(y % 2))
                return gcd(x, y >> 1);//x是奇数，y是偶数
            else
                return gcd(y, x - y);//x，y都是奇数
        }
    }
}

求最小公倍数的算法，这里直接套用公式，可是要注意，先除后乘，防止在运算过程爆数据

long long lcm(long long a, long long b)
{
    return a / lcm(a, b)*b;
}

拉梅定理

用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因子时，所需的除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的倍数的5倍。

拉梅定理推论：求两个正整数a，b，a>b的最大公因子须要O(log2(a))^3次的位运算。