Python之Numpy：线性代数/矩阵运算

当你知道工具的用处，理论与工具如何结合的时候，一般会加速我们对二者的学习效率。

零 numpy

那么，Numpy是什么？
NumPy(Numerical Python) 是 Python 语言的一个扩展程序库，支持大量维度的数组与矩阵运算，此外也针对数组运算提供大量的数学函数库。
NumPy 的前身 Numeric 最先是由 Jim Hugunin 与其它协做者共同开发，2005 年，Travis Oliphant 在 Numeric 中结合了另外一个同性质的程序库 Numarray 的特点，并加入了其它扩展而开发了 NumPy。NumPy 为开放源代码而且由许多协做者共同维护开发。 ---- 摘自 · 菜鸟教程

一 要点

• 假定AX=b，求解未知矩阵X 【线性代数中常遇到的运算问题】
• 矩阵转置A^(T)
• 矩阵的逆A^(-1)
• 矩阵行列式的值|A|
• 矩阵的秩 rank(A)
• 矩阵的迹 trace(A)
• 其它
  • 单位矩阵
  • 0向量/矩阵
  • ...

二 示例应用

2.1 求解AX=b中的未知参数矩阵X

import numpy as np

# Hypothsis : A*X = b

A = [[2,1,2],
     [3,1,0],
     [1,1,-1]];
b = np.transpose([-3,5,-2])# 转置
#[or] b = np.transpose(np.array([-3,5,-2]))# 转置

# 求解未知参数矩阵X
X = np.linalg.solve(A,b) # 方式一：直接使用numpy的solve函数一键求解
#A_inv=np.linalg.inv(A) # 方式二：先求逆运算，再点积求值
#X=np.dot(A_inv,b) # a.dot(b) 与 np.dot(a,b) 效果相同；but np.dot(a,b)与np.dot(b,a)效果确定是不一样的(线性代数/矩阵常识)
print("方程组的解：\n",X);

# [output]
方程组的解：
 [ 4.4 -8.2 -1.8]

2.2 利用最小二乘法拟合函数模型

给出一组数据【5对（Xi,Yi）参数】，用最小二乘法，求形如：f(x)=a+b*x^3的经验公式。

• 原方程(模型)
  \[ f(x) = a + bx^3 \]
• 其法方程
  \[ A^T A \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = A^T y \]
  即
  \[ \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = \left( A^T A \right)^{-1} A^T y \]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # Python 绘图工具(业界推荐)

# 数据初始化
A = [
    [1,pow(-3,3)],
    [1,pow(-2,3)],
    [1,pow(-1,3)],
    [1,pow(2,3)],
    [1,pow(4,3)]
];

At =  np.transpose(A); # A的转置矩阵

y = np.transpose([14.3,8.3,4.7,8.3,22.7]);


# step1:求解
## 令 (a ,b)^T 为 未知参数X
X = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(At,A)),At),y)
print(X)
print("a:",X[0])
print("b:",X[1])

# step2:查看拟合效果
x = [-3,-2,-1,2,4];
## 1. 计算拟合数值 fitValue
def fitValue(arg_x):
    a = X[0];
    b = X[1];
    return a + b*pow(arg_x,3);

fitValues = np.zeros([5]); # 建立长为5的【一维】数组；[1,5]：建立第1行为5个元素的【二维】数组 
for i in range(0,len(fitValues)):
    fitValues[i] = fitValue(x[i]);
    print(i,":","x(i):",x[i],"fit Y:",fitValues[i]); # just for test
    pass;

## 2. 绘图可视化
yt = np.transpose(y); # y的转置
plt.rcParams['figure.dpi'] = 100 #分辨率
plt.scatter(x, yt, marker = '*',color = 'red', s = 10 ,label = 'Actual Dataset') # 真实数据集
plt.scatter(x, fitValues, marker = 'x',color = 'green', s = 10 ,label = 'Fitting Dataset') #[拟合数据集]
plt.legend(loc = 'best')    # 设置 图例所在的位置 使用推荐位置
plt.show() 


# [output]
[ 10.67505325   0.13679816]
a: 10.6750532504
b: 0.136798159666
0 : x(i): -3 fit Y: 6.98150293942
1 : x(i): -2 fit Y: 9.58066797308
2 : x(i): -1 fit Y: 10.5382550907
3 : x(i): 2 fit Y: 11.7694385277
4 : x(i): 4 fit Y: 19.430135469

2.3 数组建立/初始化

• numpy.linspace(start, stop[, num=50[, endpoint=True[, retstep=False[, dtype=None]]]]])
  • 一维等差数列
  • return 在指定范围内的均匀间隔的数字（组成的数组），也即返回一个等差数列
  • 参数
    • start - 起始点
    • stop - 结束点
    • num - 元素个数，默认为50，
    • endpoint - 是否包含stop数值，默认为True，包含stop值；若为False，则不包含stop值
    • retstep - 返回值形式，默认为False，返回等差数列组，若为True，则返回结果(array([samples, step])),
    • dtype - 返回结果的数据类型，默认无，若无，则参考输入数据类型。

import numpy as np

a = np.linspace(1,10,5,endpoint= True)
print(a) # [ 1.    3.25  5.5   7.75 10.  ]

b = np.linspace(1,10,5,endpoint= False)
print(b) #[1.  2.8 4.6 6.4 8.2]

c = np.linspace(1,10,5,retstep = False)
print(c) # [ 1.    3.25  5.5   7.75 10.  ]

d = np.linspace(1,10,5,retstep = True)
print(d) # (array([ 1.  ,  3.25,  5.5 ,  7.75, 10.  ]), 2.25)

2.4 线性代数经常使用运算

print("原矩阵A：\n",A);
print("原矩阵b：\n",b);

print("转置矩阵A^T：\n",np.transpose(A)); # 转置
print("矩阵的行列式值|A|：\n",np.linalg.det(A)); # 方阵的行列式值：|A|
print("矩阵的迹trace(A)：\n",np.trace(A)); 
print("矩阵的秩rank(A)：\n",np.linalg.matrix_rank(A)); 
print("逆矩阵A^(-1)：\n",np.linalg.inv(A)); #矩阵的逆运算(条件：矩阵A可逆(行列式值不为0)| 矩阵A为方阵)

print("*"*30); # 分隔线

print("N阶单位矩阵:\n",np.eye(4));
print(np.zeros([5])); # 建立长为5的【一维】数组；[1,5]：建立第1行为5个元素的【二维】数组 

# 建立指定的初始化数组
print(np.array([1]))  # 生成 第1行含值为1的元素的【一维】数组
print(np.array([[56]])) # 生成 第1行含值为56的元素的【二维】数组
np.full((3,5),3.14) # 建立一个3x5的浮点型数组，数组的值都是3.14

# [output]
原矩阵A：
 [[2, 1, 2], [3, 1, 0], [1, 1, -1]]
原矩阵b：
 [-3  5 -2]
转置矩阵A^T：
 [[ 2  3  1]
 [ 1  1  1]
 [ 2  0 -1]]
矩阵的行列式值|A|：
 5.0
矩阵的迹trace(A)：
 2
矩阵的秩rank(A)：
 3
逆矩阵A^(-1)：
 [[-0.2  0.6 -0.4]
 [ 0.6 -0.8  1.2]
 [ 0.4 -0.2 -0.2]]
**********************
N阶单位矩阵:
 [[ 1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1.]]
[ 0.  0.  0.  0.  0.]
[1]
[[56]]

三 推荐文献

• Numpy - 菜鸟教程
• Numpy学习笔记二——初始化数组的10种方法