傅里叶变换

时间 2021-01-07

傅里叶级数（FS）

连续时间傅里叶级数

用成谐波关系的复指数信号表示周期信号的方法。（需要满足收敛条件）

x (t) = \sum k = - \infty \infty a k e j k ω 0 t, ω 0 = 2 π T 0 a k = 1 T 0 \int T 0 x (t) e - j k ω 0 t d t

{ak} 称为 x(t) 的频谱系数。
所谓频域图实际上说明信号中是哪些频率的信号的叠加。(图片摘自如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧)

离散时间傅里叶级数（DFS）

离散时间傅里叶级数是有限项的线性组合，不存在收敛性问题，也不存在吉布斯现象，是离散傅里叶级数与连续傅里叶级数的一个重要区别。

x [n] = \sum k = < N > a k e j k (2 π N) n a k = 1 N \sum k = < N > x [n] e - j k (2 π N) n

离散傅里叶系数 ak 是以 N 为周期的。

傅里叶变换（FT）

连续时间傅里叶变换

傅里叶变换针对的是非周期信号。非周期信号可看做周期无穷大的周期信号，因此频谱系数将变为连续的。若令 ak=1T0X(jkω0) ，则有

X (j ω) = \int \infty - \infty x (t) e - j ω t d t x (t) = 1 2 π \int \infty - \infty X (j ω) e j ω t d t

离散时间傅里叶变换（DTFT）

X (e j ω) = \sum n = - \infty \infty x [n] e - j ω n x [n] = 1 2 π \int 2 π X (e j ω) e j ω n d ω

离散时间信号的频谱 X(ejω) 是周期为 2π 的周期函数。

离散傅里叶变换（DFT）

由于 X(ejω) 是连续函数，难以直接应用于数字系统，为了便于表示和处理 x(n) 的频域特征，由 X(ejω) 定义有限长序列 X(k) （令 X˜(k)=X(ejω)|ω=2πNk ，序列 X(k) 是 X˜(k) 的一个周期，称之为 X˜(k) 的主值序列）。在频域上对 X(ejω) 进行采样会导致序列 x(n) 在时域上周期延拓得到 x˜(n) ，令 x(n) 是 x˜(n) 的主值序列。对于时域与频域的两组主值序列，有

x (n) = 1 N \sum k = 0 N - 1 X (k) e j 2 π N n k X (k) = \sum k = 0 N - 1 x (n) e - j 2 π N n k

其中 n,k∈{0,1,…,N−1} 。 DFT只适用于有限长序列。

可以这样理解，对于一个有限长信号，抽样得到离散信号 x(n) ，再进行周期延拓，得到 x˜(n) ，然后对其做DFS，得到离散周期序列 X˜(k) ，取一个周期得到 X(k) 。

虽然DFT跟DFS运算结构相同，但是物理含义不同。可参考一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系。（注：离散时间周期脉冲串的频谱为频域上的周期脉冲串，在时域上周期 N 越大，在频域上，各次谐波频率间隔 ω0=2πN 越小）

（个人理解DFT是对频域进行采样。）对序列 x(n) 做DFT变换时，要求DFT的点数不应低于 x(n) 的长度。（对频域采样相当于对时域延拓，而要保证延拓过程不会出现混叠）

快速傅里叶变换（FFT）

FFT是DFT的快速计算方法。虽然存在不同的FFT方法，但核心思想大致相同，即通过迭代，反复利用低复杂度的DFT完成高点数的DFT计算，以此达到降低运算量的目的。通常采用 2N 个点的FFT。