JavaScript 算法之最好、最坏时间复杂度分析

上一篇--JavaScript 算法之复杂度分析文章中介绍了复杂度的分析，相信小伙伴们对常见代码的时间或者空间复杂度确定能分析出来了。

思考测试

话很少说，出个题目考考你们，分析下面代码的时间复杂度(ps: 虽说并不会这么写)

function find(n, x, arr) {
        let ind = -1;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
          if (arr[i] === x) ind = i;
        }
        return ind;
      }
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上面函数的功能就是查找一个变量 x 是否在 数组 arr 中，若是在的话，返回所在的位置，不然就返回 -1。经过上一节的学习分析，这个函数的时间复杂度就很容易知道了，为 O(n)。

接下来，稍微优化下这个 find 函数，若是查找到目标的话，就不必再日后查找了。

请分析下优化后函数的时间复杂度：

function find(n, x, arr) {
        let ind = -1;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
          if (arr[i] === x) {
              ind = i;
              break;
          }
        }
        return ind;
      }
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如今代码的时间复杂度还为 O(n)吗？不肯定，利用上一章的分析法就没法解决了。

不一样状况

由于要查找的变量 x 可能会出如今数组的任意位置。若是变量 x 刚好是数组中第一个元素，那么函数就会 break ，后续就不会继续遍历了，那时间复杂度就是 O(1)。但若是刚好是数组中第末个元素，或者数组中不存在变量 x 的话，那就须要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。因此，不一样的状况下，这个函数的时间复杂度是不同的。

那为了表示代码在不一样状况下的不一样时间复杂度，须要了解如下三个概念：最好状况时间复杂度、最坏状况时间复杂度和平均状况时间复杂度**。
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理想状况

最好状况时间复杂度：在最理想的状况下，执行这段代码的时间复杂度。好比说刚才那段函数，在最理想的状况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这种状况下对应的时间复杂度就是最好状况时间复杂度。

糟糕状况

最坏状况时间复杂度：在最糟糕的状况下，执行这段代码的时间复杂度。好比说刚才那段函数，要查找的变量 x 正好是数组的第末个元素或者不在数组中存在 ，查找函数就会把数组都遍历一遍，这种状况下对应的时间复杂度就是最坏状况时间复杂度。

平均状况

可是，最好状况时间复杂度和最坏状况时间复杂度对应的都是极端状况下的代码复杂度，发生的几率其实并不大。

为了更好地表示平均状况下的复杂度，引入另外一个概念：平均状况时间复杂度，简称为平均时间复杂度。

那如何分析平均时间复杂度呢，仍是拿刚才那段查找函数来讲：

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种状况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。而后把每种状况下，查找须要遍历的元素个数累加起来，而后再除以 n+1，就能够获得须要遍历的元素个数的平均值。

根据上章所说，时间复杂度的大 O 标记法中，能够省略掉系数、低阶、常量，因此，把这个公式简化以后，获得的平均时间复杂度就是 O(n)。

可是上面计算的过程当中，没有考虑到几率的问题，由于出如今每一个位置的几率是不同的，因此得从新计算，以下分析：

要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。简单标记这两种状况下的几率都为 1/2。另外，要查找的数据出如今 0～n-1 这 n 个位置的几率也是同样的，为 1/n。因此，根据几率乘法法则，要查找的数据出如今 0～n-1 中任意位置的几率就是 1/(2n)。那咱们把每种状况发生的几率都考虑进去，计算表达式就变成了：

最后的结果也叫作几率中的加权平均值，那最后此段函数的平均时间复杂度就为 O(n)。

这么看，平均时间复杂度是否是好麻烦，还须要几率计算。实际上，在大多数状况下，咱们并不须要区分最好、最坏、平均状况时间复杂度三种状况。不少时候，咱们使用一个复杂度就能够知足需求了。只有同一块代码在不一样的状况下，时间复杂度有量级的差距，咱们才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊状况

接下来再看一个概念，特殊的平均时间复杂度：均摊时间复杂度。

先来看一个特殊的函数，分析下它的时间复杂度：

{
      var arr = new Array(n); // n 表明任意数字
      var ind = 0;
      function add(num) {
        if (ind === arr.length) {
          var sum = 0;
          for (var i = 0; i < arr.length; i++) {
            sum += arr[i];
          }
          arr[0] = sum;
          ind = 1;
        }
        arr[ind] = num;
        ind++;
      }
    }
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add 函数就是实现一个往数组中添加数据的功能。先定义一个任意长度的空数组，而后给数组添加数据。当达到数组长度后，也就是ind === array.length时，用 for 循环遍历数组求和，将求和以后的 sum 值放到数组的第一个位置，而后再将新的数据插入。但若是数组一开始就有空的话，则直接将数据添加到数组中。

来分析下此函数的时间复杂度：

最理想的状况下，数组中有剩余位置，咱们只须要将数据添加到数组下标为 ind 的位置就能够了，因此最好状况时间复杂度为 O(1)。 最糟糕的状况下，数组中没有剩余位置，咱们须要先作一次数组的遍历求和，而后再添加数据，因此最坏状况时间复杂度为 O(n)。

接下来分析须要计算的 平均时间复杂度：

因为数组的长度是 n，根据数据添加的位置的不一样，能够分为 n 种状况，每种状况的时间复杂度是 O(1)。除此以外，还有一种特殊的状况，就是在数组没有空闲空间时添加一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。并且，这 n+1 种状况发生的几率同样，都是 1/(n+1)。

因此根据大 O 表示法，平均时间复杂度就为 O(1)。

其实 add 函数的平均复杂度不须要这么复杂，接下来咱们看看 find 函数和add函数的区别：

• find 函数在极端状况下，时间复杂度才为 O(1)。但 add 函数在大部分状况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别状况下，时间复杂度才比较高，为 O(n)。
• 对于 add 函数来讲，O(1) 时间复杂度的添加和 O(n) 时间复杂度的添加，出现的频率是很是有规律的，并且有必定的先后顺序，通常都是一个 O(n) 添加以后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的添加操做，循环往复。

因此，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，咱们并不须要像以前讲平均复杂度分析方法那样，找出全部的输入状况及相应的发生几率，而后再计算加权平均值。

针对这种特殊的状况，咱们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法。经过摊还分析获得的时间复杂度，叫 均摊时间复杂度。

那如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢？

仍是看 add 函数。每一次 O(n) 的添加操做，都会跟着 n-1 次 O(1) 的添加操做，因此把耗时多的那次操做均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操做上，均摊下来，这一组连续的操做的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大体方法。

通常状况总结为：

对一个数据结构进行一组连续操做中，大部分状况下时间复杂度都很低，只有个别状况下时间复杂度比较高，并且这些操做之间存在先后连贯的时序关系，这个时候，咱们就能够将这一组操做放在一起分析，看是否能将较高时间复杂度那次操做的耗时，平摊到其余那些时间复杂度比较低的操做上。并且，在可以应用均摊时间复杂度分析的场合，通常均摊时间复杂度就等于最好状况时间复杂度。

生活举例

看高人如何把复杂度利用到生活中：

今天你准备去老王家拜访下，惋惜老王的爱人叫他去打个酱油，她告诉你说她限时 n 分钟给他去买。
那么你想着以他家到楼下小卖部来回最多一分钟，那么 “最好的状况”就是你只用等他一分钟。
那么也有可能遇到突发状况，好比说电梯没电了，或者路上摔了一跤，天知道他去干了什么，用了 n 分钟。没办法，老婆有令，n 分钟限时，那这就是“最坏的状况”。
那“平均时间复杂度” 就是他有多是第 1,2,3,...,n 中的某个分钟回来，那平均就是 1+2+3+...n/n，把 全部可能出现的状况的时间复杂度 相加除以状况数 。
“均摊时间复杂度”的话就是把花时间多的分给花时间少的，获得一个中间值。假如 n 是 10 分钟，那么 9 分钟分 4 分钟到 1 分钟那，8 分 3 给 2...，那均摊下来就是 5 分钟。

总结

4 个概念

• 最好状况时间复杂度：代码在最理想状况下执行的时间复杂度。
• 最坏状况时间复杂度：代码在最糟糕状况下执行的时间复杂度。
• 平均状况时间复杂度：用代码在全部状况下执行的次数的加权平均值表示。
• 均摊时间复杂度：在代码执行的全部复杂度状况中绝大部分是最好状况时间复杂度，个别状况是最坏状况时间复杂度且发生具备时序关系时，能够将个别最坏状况时间复杂度均摊到最好状况时间复杂度上。基本上均摊结果就等于最好状况时间复杂度。

引入目的

• 同一段代码在不一样状况下时间复杂度会出现量级差别，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，因此引入这4个概念。
• 代码复杂度在不一样状况下出现量级差异时才须要区别这四种复杂度。大多数状况下，是不须要区别分析它们的。

重点

若是有错误或者错别字，还请给我留言指出，谢谢。

咱们下期见。