万字长文！二叉树入门和刷题看这篇就够了！
今天是小浩算法 “365刷题计划” 二叉树入门 - 整合篇。本篇做为入门整合篇，已经砍去难度较大的知识点，全部列出的内容，均为必须掌握。由于很长，写下目录：java
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二叉树是啥node
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二叉树的最大深度（DFS）面试
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二叉树的层次遍历（BFS）算法
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二叉搜索树验证数组
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二叉搜索树查找数据结构
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二叉搜索树删除app
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平衡二叉树机器学习
-
彻底二叉树ide
- 二叉树的剪枝
01
PART
二叉树是啥
二叉树有多重要？单就面试而言，在 leetcode 中二叉树相关的题目占据了300多道，近三分之一。同时，二叉树在整个算法板块中还起到承上启下的做用：不可是数组和链表的延伸，又能够做为图的基础。总之，很是重要！函数
什么是二叉树？官方是这样定义的：在计算机科学中，二叉树是每一个结点最多有两个子树的树结构。一般子树被称做“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。
上面那是个玩笑，二叉树长这样：
二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。树比链表稍微复杂，由于链表是线性数据结构，而树不是。树的问题不少均可以由广度优先搜索或深度优先搜索解决。
通常而言，咱们会看到下面这些与树相关的术语：
小浩概念
与树相关的术语
树的结点（node）：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；
孩子结点（child node）：结点的子树的根称为该结点的孩子；
双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲；
兄弟结点：同一双亲的孩子结点；堂兄结点：同一层上结点；
祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的全部结点
子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；
树的深度：树中最大的结点层
结点的度：结点子树的个数
树的度：树中最大的结点度。
叶子结点：也叫终端结点，是度为 0 的结点；
分枝结点：度不为0的结点；
有序树：子树有序的树，好比家族树；
无序树：不考虑子树的顺序；
了解了上面的基本概念以后。咱们将经过几道例题，为你们引入树的经典操做。
02
PART
二叉树最大深度
复习上面的概念：树的深度指的是树中最大的结点层。
第104题：给定一个二叉树，找出其最大深度。二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。
示例：
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，
3
/ \
9 20
/ \
15 7
基本概念掌握：每一个节点的深度与它左右子树的深度有关，且等于其左右子树最大深度值加上 1。即：
maxDepth(root) =
max(maxDepth(root.left),maxDepth(root.right)) + 1
以 [3,9,20,null,null,15,7] 为例：
- 咱们要对根节点的最大深度求解，就要对其左右子树的深度进行求解
- 咱们看出。以4为根节点的子树没有左右节点，其深度为1。而以20为根节点的子树的深度，一样取决于它的左右子树深度。
- 对于15和7的子树，咱们能够一眼看出其深度为1。
- 由此咱们能够获得根节点的最大深度为
maxDepth(root-3) =max(maxDepth(sub-4),maxDepth(sub-20))+1 =max(1,max(maxDepth(sub-15),maxDepth(sub-7))+1)+1 =max(1,max(1,1)+1)+1 =max(1,2)+1 =3
根据分析，咱们经过递归进行求解：
1//Go
2func maxDepth(root *TreeNode) int {
3 if root == nil {
4 return 0
5 }
6 return max(maxDepth(root.Left), maxDepth(root.Right)) + 1
7}
8
9func max(a int, b int) int {
10 if a > b {
11 return a
12 }
13 return b
14}
其实咱们上面用的递归方式，本质上是使用了DFS的思想。因此这里就能够引出什么是DFS：深度优先搜索算法（Depth First Search），对于二叉树而言，它沿着树的深度遍历树的节点，尽量深的搜索树的分支，这一过程一直进行到已发现从源节点可达的全部节点为止。( 注意，这里的前提是对二叉树而言。DFS自己做为图算法的一种，在后续我会单独拉出来和回溯放一块儿讲。)
如上图二叉树，它的访问顺序为：
A-B-D-E-C-F-G
到这里，咱们思考一个问题？虽然咱们用递归的方式根据DFS的思想顺利完成了题目。可是这种方式的缺点却显而易见。由于在递归中，若是层级过深，咱们极可能保存过多的临时变量，致使栈溢出。这也是为何咱们通常不在后台代码中使用递归的缘由。若是不理解，下面咱们详细说明：
事实上，函数调用的参数是经过栈空间来传递的，在调用过程当中会占用线程的栈资源。而递归调用，只有走到最后的结束点后函数才能依次退出，而未到达最后的结束点以前，占用的栈空间一直没有释放，若是递归调用次数过多，就可能致使占用的栈资源超过线程的最大值，从而致使栈溢出，致使程序的异常退出。
因此，咱们引出下面的话题：如何将递归的代码转化成非递归的形式。这里请记住，基本全部的递归转非递归，均可以经过栈来进行实现。非递归的DFS，代码以下：
1//java
2private List<TreeNode> traversal(TreeNode root) {
3 List<TreeNode> res = new ArrayList<>();
4 Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
5 stack.add(root);
6 while (!stack.empty()) {
7 TreeNode node = stack.peek();
8 res.add(node);
9 stack.pop();
10 if (node.right != null) {
11 stack.push(node.right);
12 }
13 if (node.left != null) {
14 stack.push(node.left);
15 }
16 }
17 return res;
18}
上面的代码，惟一须要强调的是，为何须要先右后左压入数据？是由于咱们须要将先访问的数据，后压入栈（请思考栈的特色）。
若是不理解代码，请看下图：
说明：
-
1：首先将a压入栈
-
2：a弹栈，将c、b压入栈（注意顺序）
-
3：b弹栈，将e、d压入栈
-
4,5：d、e、c弹栈，将g、f压入栈
- 6：f、g弹栈
至此，非递归的 DFS 就讲解完毕了。那如何经过非递归DFS的方式，来对本题求解呢？相信已经很简单了，这个下去本身试试就ok了了。
03
PART
二叉树的层次遍历
在上文中，咱们经过例题学习了二叉树的DFS（深度优先搜索），其实就是沿着一个方向一直向下遍历。那咱们可不能够按照高度一层一层的访问树中的数据呢？固然能够，就是本节中咱们要讲的BFS（宽度优先搜索），同时也被称为广度优先搜索。
第102题：给定一个二叉树，返回其按层次遍历的节点值。（即逐层地，从左到右访问全部节点）。
例如:
给定二叉树: [3,9,20,null,null,15,7],
3
/ \
9 20
/ \
15 7
返回其层次遍历结果：[[3],[9,20],[15,7]]
BFS，广度/宽度优先。说白了就是从上到下，先把每一层遍历完以后再遍历一下一层。假如咱们的树以下：
按照BFS，访问顺序以下：
a->b->c->d->e->f->g
了解了BFS，咱们开始对本题进行分析。一样，咱们先考虑本题的递归解法。想到递归，咱们通常先想到DFS。咱们能够对该二叉树进行先序遍历（根左右的顺序），同时，记录节点所在的层次level，而且对每一层都定义一个数组，而后将访问到的节点值放入对应层的数组中。
假设给定二叉树为[3,9,20,null,null,15,7]，图解以下：
根据分析，代码以下：
1//Go
2func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
3 return dfs(root, 0, [][]int{})
4}
5
6func dfs(root *TreeNode, level int, res [][]int) [][]int {
7 if root == nil {
8 return res
9 }
10 if len(res) == level {
11 res = append(res, []int{root.Val})
12 } else {
13 res[level] = append(res[level], root.Val)
14 }
15 res = dfs(root.Left, level+1, res)
16 res = dfs(root.Right, level+1, res)
17 return res
18}
上面的解法，其实至关因而用DFS的方法实现了二叉树的BFS。那咱们能不能直接使用BFS的方式进行解题呢？固然能够。咱们使用Queue的数据结构。咱们将root节点初始化进队列，经过消耗尾部，插入头部的方式来完成BFS。
具体步骤以下图：
根据分析，完成代码：
1//Go
2func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
3 var result [][]int
4 if root == nil {
5 return result
6 }
7 // 定义一个双向队列
8 queue := list.New()
9 // 头部插入根节点
10 queue.PushFront(root)
11 // 进行广度搜索
12 for queue.Len() > 0 {
13 var currentLevel []int
14 listLength := queue.Len()
15 for i := 0; i < listLength; i++ {
16 // queue.Back()：返回队列中最后一个元素
17 // queue.Remove(queue.Back()).(*TreeNode) ： 移除队列中最后一个元素并将其转化为TreeNode类型
18 node := queue.Remove(queue.Back()).(*TreeNode)
19 currentLevel = append(currentLevel, node.Val)
20 if node.Left != nil {
21 queue.PushFront(node.Left)
22 }
23 if node.Right != nil {
24 queue.PushFront(node.Right)
25 }
26 }
27 result = append(result, currentLevel)
28 }
29 return result
30}
04
PART
二叉搜索树
BST是二叉搜索树，很重要。BST是二叉搜索树，很重要。BST是二叉搜索树，很重要。重要的事情说三遍。
第98题：给定一个二叉树，判断其是不是一个有效的二叉搜索树。
示例 1:
输入:
5
/ \
1 4
/ \ 3 6
输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
根节点的值为 5 ，可是其右子节点值为 4 。
要验证二叉搜索树，首先得知道啥是二叉搜索树。二叉搜索树（Binary Search Tree），（又：二叉查找树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具备下列性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上全部结点的值均小于它的根结点的值；若它的右子树不空，则右子树上全部结点的值均大于它的根结点的值；它的左、右子树也分别为二叉搜索树。
这里强调一会儿树的概念：设T是有根树，a是T中的一个顶点，由a以及a的全部后裔（后代）导出的子图称为有向树T的子树。具体来讲，子树就是树的其中一个节点以及其下面的全部的节点所构成的树。好比下面这就是一颗二叉搜索树：
下面这两个都不是：
-
图中4节点位置的数值应该大于根节点
- 图中3节点位置的数值应该大于根节点
回到题目，那咱们如何来验证一颗二叉搜索树？首先看完题目，咱们很容易想到 遍历整棵树，比较全部节点，经过 左节点值<节点值，右节点值＞节点值 的方式来进行求解。可是这种解法是错误的，由于对于任意一个节点，咱们不光须要左节点值小于该节点，而且左子树上的全部节点值都须要小于该节点。（右节点一致）因此咱们在此引入上界与下界，用以保存以前的节点中出现的最大值与最小值。
代码其实很简单：
1//GO
2func isValidBST(root *TreeNode) bool {
3 if root == nil{
4 return true
5 }
6 return isBST(root,math.MinInt64,math.MaxInt64)
7}
8
9func isBST(root *TreeNode,min, max int) bool{
10 if root == nil{
11 return true
12 }
13 if min >= root.Val || max <= root.Val{
14 return false
15 }
16 return isBST(root.Left,min,root.Val) && isBST(root.Right,root.Val,max)
17}
难就难在，可能你们看不懂这个递归！没事，祭出大杀器：
这里须要强调的是，在每次递归中，咱们除了进行左右节点的校验，还须要与上下界进行判断。其他的就很简单了。
05
PART
BST的查找
在上文中，咱们学习了二叉搜索树。那咱们如何在二叉搜索树中查找一个元素呢？
第700题：给定二叉搜索树（BST）的根节点和一个值。你须要在BST中找到节点值等于给定值的节点。返回以该节点为根的子树。若是节点不存在，则返回 NULL。
例如，给定二叉搜索树:
4 / \ 2 7 / \ 1 3
搜索: 2
你应该返回以下子树:
2 / \ 1 3
在上述示例中，若是要找的值是 5，但由于没有节点值为 5，咱们应该返回 NULL。
先复习一下，二叉搜索树（BST）的特性：
1.若它的左子树不为空，则全部左子树上的值均小于其根节点的值
2.若它的右子树不为空，则全部右子树上的值均大于其根节点得值
3.它的左右子树也分别为二叉搜索树
以下图就是一棵典型的BST：
如今咱们来看题，假设目标值为 val。根据BST的特性，咱们能够很容易想到查找过程（上面的验证比查找稍难一点）：
-
若是val小于当前结点的值，转向其左子树继续搜索；
-
若是val大于当前结点的值，转向其右子树继续搜索；
- 若是已找到，则返回当前结点。
很简单，不是吗？而后咱们能够给出迭代和递归两种解法（给个Java的吧！）：
1//java
2
3//递归
4public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
5 if (root == null)
6 return null;
7 if (root.val > val) {
8 return searchBST(root.left, val);
9 } else if (root.val < val) {
10 return searchBST(root.right, val);
11 } else {
12 return root;
13 }
14}
15
16//迭代
17public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
18 while (root != null) {
19 if (root.val == val) {
20 return root;
21 } else if (root.val > val) {
22 root = root.left;
23 } else {
24 root = root.right;
25 }
26 }
27 return null;
28}
06
PART
BST的删除
查找有了，下面天然就要讲删除。（为啥说我要着重墨在BST上面，由于BST这两年在面试时很是高频。面试官不可能说问你一个普通二叉树的题目，要么就是问堆，要么就是问BST，或者就直接DFS考察回溯。）
第450题：给定一个二叉搜索树的根节点 root 和一个值 key，删除二叉搜索树中的 key 对应的节点，并保证二叉搜索树的性质不变。返回二叉搜索树（有可能被更新）的根节点的引用。
通常来讲，删除节点可分为两个步骤：
首先找到须要删除的节点；
若是找到了，删除它。
说明：要求算法时间复杂度为 O(h)，h 为树的高度。
示例:
root = [5,3,6,2,4,null,7]
key = 3
5
/ \
3 6
/ \ \
2 4 7
给定须要删除的节点值是 3，因此咱们首先找到 3 这个节点，而后删除它。
一个正确的答案是 [5,4,6,2,null,null,7], 以下图所示。
5
/ \
4 6
/ \
2 7
另外一个正确答案是 [5,2,6,null,4,null,7]。
5
/ \
2 6
\ \
4 7
若是你看到了这里，相信确定知道BST是个啥了。因此直接分析题目。咱们要删除BST的一个节点，首先须要找到该节点。而找到以后，会出现三种状况。
- 待删除的节点左子树为空，让待删除节点的右子树替代本身。
- 待删除的节点右子树为空，让待删除节点的左子树替代本身。
- 若是待删除的节点的左右子树都不为空。咱们须要找到比当前节点小的最大节点（前驱），来替换本身
或者比当前节点大的最小节点（后继），来替换本身。
分析完毕，直接上代码。这里咱们给出经过后继节点来替代本身的方案（能够自行实现另外一种方案）：
1//go
2func deleteNode(root *TreeNode, key int) *TreeNode {
3 if root == nil {
4 return nil
5 }
6 if key < root.Val {
7 root.Left = deleteNode( root.Left, key )
8 return root
9 }
10 if key > root.Val {
11 root.Right = deleteNode( root.Right, key )
12 return root
13 }
14 //到这里意味已经查找到目标
15 if root.Right == nil {
16 //右子树为空
17 return root.Left
18 }
19 if root.Left == nil {
20 //左子树为空
21 return root.Right
22 }
23 minNode := root.Right
24 for minNode.Left != nil {
25 //查找后继
26 minNode = minNode.Left
27 }
28 root.Val = minNode.Val
29 root.Right = deleteMinNode( root.Right )
30 return root
31}
32
33
34func deleteMinNode( root *TreeNode ) *TreeNode {
35 if root.Left == nil {
36 pRight := root.Right
37 root.Right = nil
38 return pRight
39 }
40 root.Left = deleteMinNode( root.Left )
41 return root
42}
07
PART
平衡二叉树
BST讲解完了。上面也说了，别人考察咱们确定是考察特殊的。那二叉树里还有啥特殊的东东嘞？平衡二叉树算是一个。
**第110题：给定一个二叉树，判断它是不是高度平衡的二叉树。
本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：**
一个二叉树每一个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。
示例 1:
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]
3
/ \
9 20
/ \
15 7
返回 true 。
示例 2:
给定二叉树 [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
1 / \ 2 2 / \
3 3
/ \
4 4
返回 false 。
题实际上是一道很简单的题，主要是拿来复习一下高度。咱们想判断一棵树是否知足平衡二叉树，无非就是判断当前结点的两个孩子是否知足平衡，同时两个孩子的高度差是否超过1。那只要咱们能够获得高度，再基于高度进行判断便可。
这里惟一要注意的是，当咱们断定其中任意一个节点若是不知足平衡二叉树时，那说明整棵树已经不是一颗平衡二叉树，咱们能够对其进行阻断，不须要继续递归下去。
而后还有一个初学者容易懵逼的：
这玩意，并非平衡二叉树。上代码：
1//GO
2func isBalanced(root *TreeNode) bool {
3 if root == nil {
4 return true
5 }
6 l := maxDepth(root.Left)
7 r := maxDepth(root.Right)
8 if abs(l-r)>1 {
9 return false
10 }
11 if isBalanced(root.Left){
12 return true
13 }
14 return isBalanced(root.Right)
15}
16
17func maxDepth(root *TreeNode) int {
18 if root == nil {
19 return 0
20 }
21 return max(maxDepth(root.Left),maxDepth(root.Right)) + 1
22}
23
24func max(a,b int) int {
25 if a > b {
26 return a
27 }
28 return b
29}
30
31func abs(a int) int {
32 if a < 0 {
33 return -a
34 }
35 return a
36}
08
PART
彻底二叉树
还有啥特殊的，要捞出来说一讲的？
第222题：给出一个彻底二叉树，求出该树的节点个数。
说明：
彻底二叉树的定义以下：在彻底二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其他每层节点数都达到最大值，而且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。
示例:
输入:
1
/ \
2 3
/ \ /
4 5 6
输出: 6
老样子，咱们得说说啥是彻底二叉树。彻底二叉树由满二叉树引出，先来了解一下什么是满二叉树。若是二叉树中除了叶子结点，每一个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。（二叉树的度表明某个结点的孩子或者说直接后继的个数，这个在上面已经说过了。对于二叉树而言，1度是只有一个孩子或者说单子树，2度是有两个孩子或者说左右子树都有。）
那什么又是彻底二叉树呢：若是二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为彻底二叉树。好比下面这颗：
这个就不是：
上面作了这么多题了，你应该能想到我要说啥 --- 递归。二叉树的题目基本上均可以递归求解。
1func countNodes(root *TreeNode) int {
2 if root != nil {
3 return 0
4
5 }
6 return 1 + countNodes(root.Right) + countNodes(root.Left)
7}
可是很明显，出题者确定不是要这种答案。由于这种答案和彻底二叉树一毛钱关系都没有。因此咱们继续思考。
因为题中已经告诉咱们这是一颗彻底二叉树，咱们又已知了彻底二叉树除了最后一层，其余层都是满的，而且最后一层的节点所有靠向了左边。那咱们能够想到，能够将该彻底二叉树能够分割成若干满二叉树和彻底二叉树，满二叉树直接根据层高h计算出节点为2^h-1，而后继续计算子树中彻底二叉树节点。那如何分割成若干满二叉树和彻底二叉树呢？对任意一个子树，遍历其左子树层高left，右子树层高right，相等左子树则是满二叉树，不然右子树是满二叉树。这里可能不容易理解，咱们看图。
假如咱们有树以下：
咱们看到根节点的左右子树高度都为3，那么说明左子树是一颗满二叉树。由于节点已经填充到右子树了，左子树一定已经填满了。因此左子树的节点总数咱们能够直接获得，是2^left - 1，加上当前这个root节点，则正好是2^3，即 8。而后只须要再对右子树进行递归统计便可。
那假如咱们的树是这样：
咱们看到左子树高度为3，右子树高度为2。说明此时最后一层不满，但倒数第二层已经满了，能够直接获得右子树的节点个数。同理，右子树节点+root节点，总数为2^right，即2^2。再对左子树进行递归查找。
根据分析，得出代码：
/java
lass Solution {
public int countNodes(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int left = countLevel(root.left);
int right = countLevel(root.right);
if (left == right) {
return countNodes(root.right) + (1 << left);
} else {
return countNodes(root.left) + (1 << right);
}
}
private int countLevel(TreeNode root) {
int level = 0;
while (root != null) {
level++;
root = root.left;
}
return level;
}
09
PART
二叉树的剪枝
该讲的都讲了，忽然想到忘了一个经典操做 - 剪枝。迅速补上！很是重要！这里额外说一点，就本人而言，对这个操做以及其衍化形式的使用会比较频繁。由于我是作反欺诈的，机器学习里有一个概念叫作决策树，那若是一颗决策树彻底生长，就会带来比较大的过拟合问题。由于彻底生长的决策树，每一个节点只会包含一个样本。因此咱们就须要对决策树进行剪枝操做，来提高整个决策模型的泛化能力... 听不懂也不要紧，简单点讲，就是我以为这个很重要，或者每道算法题都很重要。若是你在工做中没有用到，不是说明算法不重要，而多是你还不够重要。
第814题：给定二叉树根结点 root ，此外树的每一个结点的值要么是 0，要么是 1。返回移除了全部不包含 1 的子树的原二叉树。
( 节点 X 的子树为 X 自己，以及全部 X 的后代。)
示例1:
输入: [1,null,0,0,1]
输出: [1,null,0,null,1]
解释:
只有红色节点知足条件“全部不包含 1 的子树”。
右图为返回的答案。
示例2:
输入: [1,0,1,0,0,0,1]
输出: [1,null,1,null,1]
示例3:
输入: [1,1,0,1,1,0,1,0]
输出: [1,1,0,1,1,null,1]
说明:
给定的二叉树最多有 100 个节点。
每一个节点的值只会为 0 或 1 。
仍是先解释一下，啥是剪枝：假设有一棵树，最上层的是root节点，而父节点会依赖子节点。若是如今有一些节点已经标记为无效，咱们要删除这些无效节点。若是无效节点的依赖的节点还有效，那么不该该删除，若是无效节点和它的子节点都无效，则能够删除。剪掉这些节点的过程，称为剪枝，目的是用来处理二叉树模型中的依赖问题。
说了好多遍了，二叉树的问题，大多均可以经过递归进行求解。直接分析。假设咱们有二叉树以下：[0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0]：
长这样：
剪枝以后是这样：
剪什么你们应该都能理解。那关键是怎么剪？过程也很简单，在递归的过程当中，若是当前结点的左右节点皆为空，且当前结点为0，咱们就将当前节点剪掉便可。
其实很简单，直接看代码：
1func pruneTree(root *TreeNode) *TreeNode {
2 return deal(root)
3}
4
5func deal(node *TreeNode) *TreeNode {
6 if node == nil {
7 return nil
8 }
9 node.Left = deal(node.Left)
10 node.Right = deal(node.Right)
11 if node.Left == nil && node.Right == nil && node.Val == 0 {
12 return nil
13 }
14 return node
15}
10
PART
啰嗦一下
二叉树入门整合系列篇到这里就完事了，相信你们若是能够完整看完，必定会有所收获。可是呢，其实你们能够看到，上面的系列还有不少内容没有讲。好比很核心的一块DFS和回溯。这些都会在后面出单独的系列进行讲解，但愿你们多多支持！
今天的整合篇去除了以前的一些冗余内容，对部分图解也进行了重构，熬夜整合，猝死边缘。
- 1. 二叉树万字长文，面试看这一篇就够了
- 2. 动态规划入门看这篇就够了，万字长文！
- 3. 万字长文！位运算面试看这篇就够了！
- 4. 操作系统看这一篇就够了(万字长文)
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