深度优先搜索(Depth-first search)是如何搜索一张图的？

思想：对于最新发现的顶点v，若是它还有以此为起点而还未探索的边，沿此边探索。若是v的全部边已经探索完了，再回溯到发现v有起始点的那些边。一直到已经探索了从源起点可到的全部顶点为止。若是还有没探索的顶点，将它定义为一个新的源顶点，继续上述过程。

像走迷宫同样，尝试每种可能的结果，没走通，就回溯到当初分叉的路口，继续探索

探索整个的图

DFS(V,Adj):
    parent={}
    for s in V: //遍历图中全部的点
        if s not in parent: //点没有遍历过就继续探索
            parent[s]=None //源点不设置父节点
            DFS-Visit(Adj,s) //探索当前源顶点可以到达的全部的点
复制代码

给定一个源顶点s,DFS的实现方式

DFS-Visit(Adj,s):
   for v in Adj[s]: //遍历全部的边
       if v not in parent: //当前边没有遍历过
           parent[v]=s //记录已经遍历
           DFS-Visit(adj,v) //优先探索当前节点的边,完成以后，再执行回溯（经过循环实现）
复制代码

以有向图为例
假设按照字母的顺序来遍历全部的顶点，即V=[a,b,c,d,e,f]，原始的图为

1. 第一步探索a到b的边，发现b还有边，一直往下走，直到d为止，d没有往下走的边，第一个DFS-Visit执行结束

2. 开始回溯,先回溯到d的父节点e,一样没有，一直到a，a的另外一条边是a到d,可是d已经探索过，再也不操做

3. 换源点执行探索，此时为b,可是b已经探索过，再探索c发现仅一条边对应的f没探索过

4. 继续更换源点一直到f,都没有新的还没有探索过的边，最终DFS探索生成了两颗深度优先树

深度优先树指的是通过DFS生成的树，结果为3中的橙色箭头所指的两个部分

时间复杂度

O(V+E);它的遍历规则仍然须要遍历全部的节点一遍，对于每条变来说，只有没有遍历过的才作一次遍历

深度优先搜索的用途是什么？

1. 边分类

• 树边。若是顶点v是在探寻边(u,v)首次发现的，那么(u,v)是树边，好比图中(a,b)
• 正向边。u到v的某个非树边，好比图中(a,d),a到d存在边，可是没有进入树中
• 反边。 链接u到它的祖先顶点v的边，好比图中的(d,b)
• 交叉边。生成的树中，两个顶点不存在父子关系。好比图中的 (g,d)

在算法中，树边判断经过parent就能够看出，parent的逆向就是树边，得以标识；

反边判断，能够在源点开始作一个标记，把全部的通过的节点都放入栈中，若是下次获得的顶点在栈中，那么这条边就是反边；

如何判断在一个图中是否存在环？

图G存在环，当且仅当图中存在一条反边。证实以下：

• 存在环，证实有反边。假设从环中选取一个点,做为DFS遍历的第一个顶点，证实 (,)是反边：已知事实是，访问前，一定已经访问完,访问前，一定已经访问完,当访问到再下一个查看的时候，已经在栈中，那么(,)是反边

• 存在反边,证实有环。首先s到t必然存在树边，而后t到s是一条反边，那必然成环

2. Job调度

Job自己是个无环的有向图，各个顶点之间一定存在着必定的顺序，执行的时候等前面的执行完才能再执行排在后面的

它使用的算法称做拓扑排序，拓扑排序内部使用的就是DFS，输出为完成时的顶点的逆序，就排序好了(以前记录的是parent的指向,真正的执行是先parent)

这种排序产生的结果是，假设图中全部的顶点放在同一个水平线上，那么全部的方向均是从左到右

证实

只须要证实，对于任何一个边e=(u,v)，在v执行完以后，u才执行完

• u的访问发生在v以前：因为u,v之间存在一条边，那么在u执行完以前，确定为访问v,而等v完成后，才能完成u
• v的访问在u以前:因为u和v之间存在一条边，若是先访问了v,若是存在v到u的路径，这样会有环，因此根本不会执行u,也就是说，v先执行完

附录

算法导论(MIT 6.006 第14讲)