主成分分析（PCA）原理总结

时间 2019-11-07

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主成分分析（Principal components analysis，如下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有普遍的应用。通常咱们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面咱们就对PCA的原理作一个总结。算法

1、PCA的思想

　　　　PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如咱们的数据集是n维的，共有m个数据$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$。咱们但愿将这m个数据的维度从n维降到n'维，但愿这m个n'维的数据集尽量的表明原始数据集。咱们知道数据从n维降到n'维确定会有损失，可是咱们但愿损失尽量的小。那么如何让这n'维的数据尽量表示原来的数据呢？微信

　　　　咱们先看看最简单的状况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据以下图。咱们但愿找到某一个维度方向，它能够表明这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，$u_1$和$u_2$，那么哪一个向量能够更好的表明原始数据集呢？从直观上也能够看出，$u_1$比$u_2$好。函数

　　　　为何$u_1$比$u_2$好呢？能够有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽量的分开。学习

　　　　假如咱们把n'从1维推广到任意维，则咱们的但愿降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽量的分开。优化

　　　　基于上面的两种标准，咱们能够获得PCA的两种等价推导。spa

2、PCA的推导:基于最小投影距离

　　　　咱们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。component

　　　　假设m个n维数据$(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$都已经进行了中心化，即$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}=0$。通过投影变换后获得的新坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_n\}$,其中$w$是标准正交基，即$||w||_2=1, w_i^Tw_j=0$。blog

　　　　若是咱们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为$\{w_1,w_2,...,w_{n'}\}$,样本点$x^{(i)}$在n'维坐标系中的投影为：$z^{(i)} = (z_1^{(i)}, z_2^{(i)},...,z_{n'}^{(i)})^T$.其中，$z_j^{(i)} = w_j^Tx^{(i)}$是$x^{(i)}$在低维坐标系里第j维的坐标。ip

　　　　若是咱们用$z^{(i)}$来恢复原始数据$x^{(i)}$,则获得的恢复数据$\overline{x}^{(i)} = \sum\limits_{j=1}^{n'}z_j^{(i)}w_j = Wz^{(i)}$,其中，W为标准正交基组成的矩阵。内存

　　　　如今咱们考虑整个样本集，咱们但愿全部的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：
\[ \sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 \]

　　　　将这个式子进行整理，能够获得:

\[ \begin{align} \sum\limits_{i=1}^{m}||\overline{x}^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 & = \sum\limits_{i=1}^{m}|| Wz^{(i)} - x^{(i)}||_2^2 \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^T(Wz^{(i)}) - 2\sum\limits_{i=1}^{m}(Wz^{(i)})^Tx^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}W^Tx^{(i)} +\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = - \sum\limits_{i=1}^{m}z^{(i)T}z^{(i)} + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = -tr( W^T（\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T})W) + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \\& = -tr( W^TXX^TW) + \sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)} \end{align} \]

　　　　其中第（1）步用到了$\overline{x}^{(i)}=Wz^{(i)} $,第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式$(AB)^T =B^TA^T$和$W^TW=I$,第（4）步用到了$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。

　　　　注意到$\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}$是数据集的协方差矩阵，W的每个向量$w_j$是标准正交基。而$\sum\limits_{i=1}^{m} x^{(i)T}x^{(i)}$是一个常量。最小化上式等价于：
\[ \underbrace{arg\;min}_{W}\;-tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I \]

　　　　这个最小化不难，直接观察也能够发现最小值对应的W由协方差矩阵$XX^T$最大的n'个特征值对应的特征向量组成。固然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数能够获得
\[ J(W) = -tr( W^TXX^TW + \lambda(W^TW-I)) \]

　　　　对W求导有$-XX^TW+\lambda W=0$, 整理下即为：
\[ XX^TW=\lambda W \]

　　　　这样能够更清楚的看出，W为$XX^T$的n'个特征向量组成的矩阵，而$\lambda$为$XX^T$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其他位置为0。当咱们将数据集从n维降到n'维时，须要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为咱们须要的矩阵。对于原始数据集，咱们只须要用$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,就能够把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

　　　　若是你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的很是相似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。　　

3、PCA的推导:基于最大投影方差

　　　　如今咱们再来看看基于最大投影方差的推导。

　　　　对于任意一个样本$x^{(i)}$，在新的坐标系中的投影为$W^Tx^{(i)}$,在新坐标系中的投影方差为$W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$，要使全部的样本的投影方差和最大，也就是最大化$ \sum\limits_{i=1}^{m}W^Tx^{(i)}x^{(i)T}W$的迹,即：
\[ \underbrace{arg\;max}_{W}\;tr( W^TXX^TW) \;\;s.t. W^TW=I \]

　　　　观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，能够发现彻底同样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

　　　　利用拉格朗日函数能够获得
\[ J(W) = tr( W^TXX^TW + \lambda(W^TW-I)) \]

　　　　对W求导有$XX^TW+\lambda W=0$, 整理下即为：
\[ XX^TW=（-\lambda）W \]

　　　　和上面同样能够看出，W为$XX^T$的n'个特征向量组成的矩阵，而$-\lambda$为$XX^T$的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其他位置为0。当咱们将数据集从n维降到n'维时，须要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为咱们须要的矩阵。对于原始数据集，咱们只须要用$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$,就能够把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

4、PCA算法流程

　　　　从上面两节咱们能够看出，求样本$x^{(i)}$的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵$XX^T$的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，而后对于每一个样本$x^{(i)}$,作以下变换$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，即达到降维的PCA目的。

　　　　下面咱们看看具体的算法流程。

　　　　输入：n维样本集$D=(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$，要降维到的维数n'.

　　　　输出：降维后的样本集$D'$

　　　　1) 对全部的样本进行中心化： $x^{(i)} = x^{(i)} - \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m} x^{(j)}$

　　　　2) 计算样本的协方差矩阵$XX^T$

　　　　3) 对矩阵$XX^T$进行特征值分解

　　　　4）取出最大的n'个特征值对应的特征向量$(w_1,w_2,...,w_{n'})$, 将全部的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。

　　　　5）对样本集中的每个样本$x^{(i)}$,转化为新的样本$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$

　　　　6) 获得输出样本集$D' =(z^{(1)}, z^{(2)},...,z^{(m)})$

　　　　有时候，咱们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如咱们的n个特征值为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$,则n'能够经过下式获得:
\[ \frac{\sum\limits_{i=1}^{n'}\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i} \geq t \]

5、PCA实例

　　　　下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。

　　　　假设咱们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，须要用PCA降到1维特征。

　　　　首先咱们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),全部的样本减去这个均值后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

　　　　如今咱们开始求样本的协方差矩阵，因为咱们是二维的，则协方差矩阵为：

\[ \mathbf{XX^T} = \left( \begin{array}{ccc} cov(x_1,x_1) & cov(x_1,x_2)\\ cov(x_2,x_1) & cov(x_2,x_2) \end{array} \right) \]

　　　　对于咱们的数据，求出协方差矩阵为：

\[ \mathbf{XX^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0.616555556 & 0.615444444\\ 0.615444444 & 0.716555556 \end{array} \right) \]

　　　　求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：$(0.735178656, 0.677873399)^T\;\; (-0.677873399, -0.735178656)^T$,因为最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为$(-0.677873399, -0.735178656)^T$. 则咱们的W=$(-0.677873399, -0.735178656)^T$

　　　　咱们对全部的数据集进行投影$z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$，获得PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

6、核主成分分析KPCA介绍

　　　　在上面的PCA算法中，咱们假设存在一个线性的超平面，可让咱们对数据进行投影。可是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就须要用到和支持向量机同样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>;n,而后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间知足n'<;n<;N。

　　　　使用了核函数的主成分分析通常称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 如下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据经过映射$\phi$产生。

　　　　则对于n维空间的特征分解：
\[ \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}x^{(i)T}W=\lambda W \]

　　　　映射为：
\[ \sum\limits_{i=1}^{m}\phi(x^{(i)})\phi(x^{(i)})^TW=\lambda W \]

　　　　经过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，而后用和PCA同样的方法进行降维。通常来讲，映射$\phi$不用显式的计算，而是在须要计算的时候经过核函数完成。因为KPCA须要核函数的运算，所以它的计算量要比PCA大不少。

7、PCA算法总结

　　　　这里对PCA算法作一个总结。做为一个非监督学习的降维方法，它只须要特征值分解，就能够对数据进行压缩，去噪。所以在实际场景应用很普遍。为了克服PCA的一些缺点，出现了不少PCA的变种，好比第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

　　　　PCA算法的主要优势有：

　　　　1）仅仅须要以方差衡量信息量，不受数据集之外的因素影响。　

　　　　2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

　　　　3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

　　　　PCA算法的主要缺点有：

　　　　1）主成分各个特征维度的含义具备必定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

　　　　2）方差小的非主成分也可能含有对样本差别的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

祝你们新年快乐！

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