组合数学—排列组合

时间 2019-12-06

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一写在开头

这个学期学习了组合数学这门课程，趁如今有时间作一下总结。整个课程的脉络以下图：学习

1.1 本文内容

本文的内容为排列组合，内容分解图以下。编码

二计数法则

2.1 加法法则（分类加法计数）

假设有两个互斥的事件$A$与事件$B$，事件$A$有$m$种产生方式，事件$B$有$n$种产生方式，则事件$A$或事件$B$有$m+n$种产生方式。spa

2.2 乘法法则（分步乘法计数）

假设有两个相互独立的事件$A$与事件$B$，事件$A$有$m$种产生方式，事件$B$有$n$种产生方式，则事件$A$和事件$B$有$m \cdot n$种产生方式。code

2.3 一一对应法则

假设事件$A$的产生方式与事件$B$的产生方式一一对应，则事件$A$的产生方式数与事件$B$产生的方式数相等。blog

要对$A$集合计数，但直接计数有困难，因而可设法构造一易于计数的$B$，使得$A$与$B$一一对应。事件

三排列与组合的定义及其计算公式

3.1 排列

定义：从$n$个不一样的元素中，取$r$个不重复的元素，按次序排列，称为从$n$中取$r$个的排列。
排列数记为$p(n, r)$
排列数$p(n, r)$的计算方法：至关因而从$n$个不一样的球中取出$r$个，依次放入$r$个不一样的盒子当中。所以，第一个盒子有$n$种选择，第二个盒子有$n-1$种选择，......，第$r$个有$n-(r-1)$种。所以可得排列数的计算公式以下：

\[ \begin{equation} \begin{split} P(n, r) &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2)......(n-r+2)(n-r+1)\\ &= n! \verb|/| (n-r)! \end{split} \end{equation} \]数学

特别地，当$r=n$时，称为全排列，$p(n, n)=n!$string

3.2 组合

定义：从$n$个不一样元素中取$r$个元素，且不考虑顺序，称为从$n$个中取$r$个的组合。
组合数用$c(n,r)$或者$\tbinom{n}{r}$来表示
与排列不一样的是，组合只是至关于从$n$个球中选择$r$个组合在一块儿便可，与排列相比，无需$r$个球构成一个全排列这么一个操做。所以，组合数的计算至关因而在排列数的基础上除去一个$r$的全排列$r!$便可。因此

\[ \begin{equation} \begin{split} C(n,r) &= P(n, r) \verb|/| r!\\ &= n! \verb|/| \left[ (n-r)! \cdot r! \right] \end{split} \end{equation} \]

四圆排列与项链排列

4.1 圆排列

定义：从$n$个不一样的元素中取$r$个元素排列在一个圆环上的排列
圆排列数用$Q(n,r)$来表示。由于圆排列的缘故，每$r$个首尾相连顺序同样的排列都只能算一种，以下图所示，因此，圆排列数至关因而在排列数的基础上除去$r$。因此

\[ Q(n, r) = P(n, r) \verb|/| r \]

\[ Q(n, n) = P(n, n) \verb|/| n = (n-1)! \]

4.2 项链排列

定义：项链排列如同项链通常，在圆排列的基础上，逆时针方向和顺时针方向的放置各个数是同一个排列。
所以项链排列的排列数为$Q(n, r) \verb|/| 2 = P(n, r) \verb|/| 2r$

五可重排列与可重组合

5.1 可重排列

可重排列的定义：
设有$n$种不一样的物体$a_1,a_2,...,a_n$，
第一种物体$a_1$有相同的$k_1$个，
第二种物体$a_2$有相同的$k_2$个，
......
第n中物体$a_n$有相同的$k_n$个，
从这$n$中物品里取$r$个物品进行排列，称为$r$可重排列。

依据$r$和$k_i$的数量状况能够分为如下三种状况：

$r = k_1 + k_2 + ... + k_n$
$k_1 \ge r, k_2 \ge r, ... , k_n \ge r$或者$k_1 = \infty, k_2 = \infty, ..., k_n = \infty$
存在$k_i < r$

那么对于上述三种状况，如何计算它们的排列数呢？

对于状况1，设$S =\left \{ k_1 \cdot a_1, k_2 \cdot a_2, ..., k_n \cdot a_n\right \}$，当$k_1 + k_2 + ... + k_n = r$时，从$n$种物品中取$r$个物品的全体排列数用$P(r;k_1, k_2,...,k_n)$或$\tbinom{r}{k_1 k_2 ... k_n}$表示。则

\[ P(r;k_1, k_2, ..., k_n) = r! \verb|/| (k_1 ! \cdot k_2 ! \cdot ... \cdot k_n !) \]

证实过程略

对于状况2，有
\[ P(r; a_1 \cdot \infty, a_2 \cdot \infty, ..., a_n \cdot \infty) = n^r \]
证实过程略。

对于状况3，没有一个现成的公式能够计算其排列数。

5.2 可重组合

可重组合的定义：
有$n$种不一样的物品，构成集合$S =\left \{ k_1 \cdot a_1, k_2 \cdot a_2, ..., k_n \cdot a_n\right \}$，从这$n$种物品中取出$r$个物品的组合，称为$r$可重组合。对于可重组合能够分红如下两种特殊状况：

$k_i > r~(i = 1, 2, ..., n)$
$a_1 ,a_2, ..., a_n$至少出现一次的组合

对于状况1，有
\[ C(r; a_1 \cdot \infty, a_2 \cdot \infty, ..., a_n \cdot \infty) = \tbinom{r + n - 1}{r} \]

简要证实：
第1步：问题至关于$r$个相同的球放入$n$个互异的盒子，每一个盒子的数目能够不一样，求总的方案数

第2步：上述问题又能够转换为$r$个相同的球与$n-1$个相同的盒壁的排列问题

所以，排列数为：
\[ (r+n-1)! \verb|/| (r! \cdot (n - 1)!) = \tbinom{n+r-1}{r} \]

对于状况2，$a_1 ,a_2, ..., a_n$至少出现一次的组合数为$\tbinom{r-1}{r-n}$

简要证实：
由于$a_1 ,a_2, ..., a_n$至少出现一次，因此，先取出$a_1 ,a_2, ..., a_n$各一个，剩下的问题就转化为从$n$中取$r-n$个的可放回组合问题。所以，组合数为：
\[ \tbinom{r-n+n-1}{r-n} = \tbinom{r-1}{r-n} \]

六若干组合等式

6.1 Stirling近似公式

Stirling公式给出了一个求$n!$的近似公式。

\[ n! \approx \sqrt{2n\pi} (\frac{n}{e})^n \]

6.2 Pascal公式

\[ \tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k} + \tbinom{n-1}{k-1} \]

该公式至关直观，证实也至关简单：
令$S$是$n$个元素的集合，任取一个元素用$x$表示，则$S$的$k-$组合的集合能够划分为不包含$x$的$k-$组合和包含$x$的$k-$组合，因而
\[ \tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k} + \tbinom{n-1}{k-1} \]

6.3 二项式定理及二项式系数

设$n$是正整数，对任意的$x$和$y$有：
\[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \tbinom{n}{k} x^k y^{n-k} \]

其中$\tbinom{n}{k}$为二项式系数。

根据上述二项式定理，有如下推论：

令$y=1$有：
\[ (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \tbinom{n}{k} x^k = \tbinom{n}{0} + \tbinom{n}{1}x + ... + \tbinom{n}{n}x^n \]

令$y = 1, x = -x$有：
\[ (1-x)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \tbinom{n}{k}x^k = \tbinom{n}{0} - \tbinom{n}{1}x + ... + \tbinom{n}{n}(-1)^k x^n \]

令$x = 1, y = 1$有：
\[ \tbinom{n}{0} + \tbinom{n}{1} + ... + \tbinom{n}{n} = 2^n \]

令$x = -1, y = 1$有：
\[ \tbinom{n}{0} - \tbinom{n}{1} + \tbinom{n}{2} ... + (-1)^n \tbinom{n}{n} = 0 \]

6.4 多项式定理

设$n$是正整数，则对一切实数$x_1, x_2, ..., x_m$有：
\[ \begin{equation} \begin{split} (x_1 + x_2 + ... + x_m)^n &= \sum_{n_1 + n_2 + ... + n_m = n} \frac{n!}{n_1 ! \cdot n_2 ! ... n_m !}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_m^{n_m}\\ &= \sum_{n_1 + n_2 + ... + n_m = n}\tbinom{n}{n_1 n_2 ... n_m}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_m^{n_m} \end{split} \end{equation} \]
其中$\tbinom{n}{n_1 n_2 ... n_m}$为多项式系数。

6.5 牛顿二项式定理

设$\alpha$是一个实数。则对于全部知足$0 \leq \vert x \vert < \vert y \vert $的$x$和$y$有：

\[ (x+y)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \tbinom{\alpha}{k} x^k y^{\alpha - k} \]
其中
\[ \tbinom{\alpha}{k} = \begin{cases} 0 & k < 0\\ 1 & k = 0\\ \frac{\alpha (\alpha - 1) ... (\alpha - k + 1)}{k!} & k > 0 \end{cases} \]

6.6 组合恒等式

下面是一些组合恒等式，证实过程略。
\[ \tbinom{n}{r} = \tbinom{n}{n-r} \]

\[ \tbinom{n}{1}^2 + 2\tbinom{n}{2}^2 + ... + n\tbinom{n}{n}^2 = n \cdot \tbinom{2n-1}{n-1} \]

\[ \tbinom{n}{r} = \tbinom{n-1}{r-1} + \tbinom{n-2}{r-1} + \tbinom{n-3}{r-1} + ... + \tbinom{r-1}{r-1} \]

\[ \tbinom{n}{l}\tbinom{l}{r} = \tbinom{n}{r}\tbinom{n-r}{l-r} \neq \tbinom{n}{r} \]

\[ \tbinom{n}{0} + \tbinom{n}{1} + \tbinom{n}{2} + ... + \tbinom{n}{n} = 2^n \]

\[ \tbinom{m+n}{r} = \tbinom{m}{0}\tbinom{n}{r} + \tbinom{m}{1}\tbinom{n}{r-1} + ... + \tbinom{m}{r}\tbinom{n}{0} \]

\[ \tbinom{n}{k} = \frac{n}{n-k}\tbinom{n-1}{k} \]

\[ \tbinom{n}{k} = \frac{n-k+1}{k}\tbinom{n}{k-1} \]

\[ \sum_{k=0}^m \tbinom{m}{k}\tbinom{n}{l+k} = \tbinom{m+n}{m+l} \]

七生成算法

生成算法也叫构造算法，生成算法完成的功能是将全部知足要求的排列或组合无重复，无遗漏地枚举出来

7.1 排列生成算法

排列的构造算法主要有直接法，字典序法，序列法，逆序数法，邻位对换法等等，接下来要介绍其中的一种：字典序法。

字典序法：从天然顺序123...n开始，按照字典序依次构造集合{1, 2, ..., n}的全部全排列，由一个排列构造下一个排列的算法以下：

从$p_1 p_2 ... p_n$从右向左扫描，找出比右邻数字小的第1个数字$p_i$
对$p_1 p_2 ... p_n$从右向左扫描，找出比$p_i$大的第一个数$p_j$
将$p_i$和$p_j$互换获得$b_1 b_2 ... b_n$
将$b_1 b_2 ... b_n$中的$b_{i+1}$到$b_n$部分的顺序逆序，获得$b_1 b_2 ... b_n ... b_{i+1}$即为下一个排列

该算法流程很清晰，能够用C++实现以下：

void generate_permutations(vector<string> &v, int n)
{
    if (n < 1)
        return ;

    // 构建初始和结束排列
    string first, last;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        first.push_back(char('0' + i));
        last.push_back(char('0' + n - i + 1));
    }
    v.push_back(first);

    // 依次产生下一个排列并加入向量中
    string next, current = first;
    while (current != last)
    {
        // 寻找要对换的两个数的位置pi和pj
        decltype(current.length()) i, j, pi, pj;
        for (i = current.length() - 1; i >= 1; i--)
            if (current[i-1] < current[i]){
                pi = i - 1;
                break;
            }
        for (i = current.length() - 1; i > pi; i--)
            if (current[i] > current[pi]){
                pj = i;
                break;
            }

        // 对换
        next = current;
        char tmp = next[pi];
        next[pi] = next[pj];
        next[pj] = tmp;

        // 翻转
        for (i = pi + 1, j = next.length() - 1; i < j; i++, j--){
            char tmp = next[i];
            next[i] = next[j];
            next[j] = tmp;
        }
        v.push_back(next);
        current = next;
    }
}

7.2 组合生成算法

组合的构造算法主要有字典序法，二进制编码法等等，这里介绍前一种算法。算法的详细过程叙述以下：
从{1, 2, ..., n}中取r-组合表示为$C_1 C_2 ... C_r$，令$C_1 < C_2 < ... < C_r$，其中有$C_i \leq (n-r+i), i = 1, 2, ..., r$
则生成后续组合的规则以下

对$C_1 C_2 ... C_r$从右到左扫描，找出第一个知足$C_i < (n-r+i)$的$i$
$C_i \leftarrow C_i + 1$
$C_j \leftarrow C_{j-1} + 1, j=i+1, i+2, ..., r$

一样，上述算法能够用C++实现以下：

void generate_combinations(vector<string> &v, int n, int r)
{
    if ((r < 1) || (r > n))
        return ;

    // 构建初始和结束组合
    string first, last;
    for (int i = 0; i < r; i++){
        first.push_back(char('0' + i + 1));
        last.push_back(char('0' + n - r + i + 1));
    }
    v.push_back(first);

    // 依次产生下一个组合并加入向量中
    string next, current = first;
    while (current != last)
    {
        decltype(current.length()) i, j, pi;
        for (i = current.length() - 1; i >= 0; i--)
            if ((current[i] - '0') < (n - r + i + 1)){
                pi = i;
                break;
            }

        next = current;
        next[pi] = next[pi] + 1;
        for (j = pi + 1; j < r; j++)
            next[j] = next[j-1] + 1;

        v.push_back(next);
        current = next;
    }
}