NP-Completeness理解

今天大年初一，哪里也没去，在家里从新看了下IOA的NP问题。感受看明白了。

首先定义下：

所谓P问题是指全部能在多项式复杂度解决的问题，好比排序算法，n*n复杂度解决问题。

有些问题目前没有多项式复杂度的解决方案，可是若是你给我一个解决方案，我能够在多项式时间内验证该算法是否正确。好比说bool表达式的可知足性问题，给我一个表达式，虽然我不能在多项式时间内判断它是否可知足，可是若是你给我一个答案，我能判断这个答案的正确性。这类问题就是NP问题。

P属于NP。这是很明显的。

那么P是否等于NP呢？目前看，不等于。由于存在一类NP彻底的问题。

NP彻底问题是NP中的一类问题，若是知足如下两个条件，那么咱们说L是NP彻底的：L是NP问题；全部的NP问题均可以“多项式归结”为L。

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先定义什么是问题？问题就是一个映射，把“instance”（输入）映射到“solution”（输出）。

各类问题的输出千差万别，不便于讨论，统一下，都输出true和false。这就是断定型问题，decision problem。其余那些寻找最优解的叫优化类问题。全部优化类问题均可以转变成断定型问题。

接着是语言。既然一个问题P输出都是true或者false，若是集合L中的全部instance都让P输出true，那么咱们说P 接受L。这里有一个很重要的转变，就是把一个抽象的问题，变成了一个instance的集合。两个问题是难以相等或者转换的，可是两个集合是能够的，mapping。基于这个mapping就能够定义多项式归结。

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什么是多项式归结？也有两层含义：

给定两个算法，A和B。x是A输入，f是一个映射函数，能把x映射成B的输入。含义1：A(x)==B(f(x))；含义2：f(x)是多项式复杂度。

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而后咱们要寻找一个NP彻底问题，这个问题就是Circuit-SAT。它的意思是给任意一个集成电路，判断该电路是否会输出1.咱们知道集成电路都是有若干管脚做为输入，几个管家做为输出的。这里简单起见，只有一个输出。若是咱们发现一个电路只能输出0，那么咱们可能发现了一个bug，或者简单的把它替换成常数。

怎么证实呢，从定义出发，先证实它是NP的，再证实全部的NP问题均可以归结到它（任意一个算法的输入实例均可以在多项式时间里变成一个集成电路）。

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它是NP的，就是要证实存在算法A，给输入x（某个集成电路），y（某种输入方式），能够判断y是否知足x。这个复杂度是线性的，知足多项式复杂度的要求。

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全部的NP问题都能归结到Circuit-SAT的问题吗？这又要解决两个问题：

1. 是否存在一个映射函数F，使得任意算法的输入x都能变成等价的一个集成电路C；

2.F是不是多项式的复杂度；

先看第一个问题，可否找到这样的F呢。下面的描述就是为了构造这个F。假定咱们要把算法W归结到Circuit-SAT。W算法的验证算法是A，给定x和y，能够判断输入为x时，y是不是一个正确的答案。举个例子，W是要判断图中是否存在长度为K的路径，x表明图的数据结果，y表明最长路径的各条边，那么A是验证的算法。

若是咱们把系统内存当成一个变量，那么每条指令的执行都会将一个内存快照（conf）变成另一个（conf），咱们能够认为这个映射是一个circuit完成的。

因为A(x,y)是多项式复杂度，因此conf的个数是多项式个。咱们把这全部的集成电路组合起来，造成一个新的集成电路C。这样咱们就把x变成了C。

也就是说，对于W而言，验证算法A(x,y)=1，当且仅当B(C,y)=1.其中B是验证集成电路的可知足性算法。

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F已经找到了，那么F是不是多项式复杂度的呢？首先x是多项式的，内存大小是多项式的，集成电路个数等于执行的指令数，也是多项式的，多项式组合在一块儿，仍是多项式的。

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这就证实了全部NP问题都能归结到circuit-sat问题。

其实这里还有一个language的问题，我貌似还没看懂。

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如何判断一个问题是NP-hard的呢，若是一个NP彻底的问题可以归结到该问题，（无论他是否是NP问题），它都是NP-hard。

因为咱们已经找到了一个NP彻底问题circuit-sat，对于目标问题W，只须要把circuit-sat问题归结到W的输入便可证实W是NP-hard的问题。这就很容易证实不少算法都是NP的。好比说Boolean表达式的可知足性。后续将会继续讨论。

 

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