埃及分数 ----- 迭代加深搜索

题目：埃及分数

题目连接：http://codevs.cn/problem/1288/

题目大意：

　　给出一个分数，由分子a 和分母b 构成，如今要你分解成一系列互不相同的单位分数（形如：1/a，即分子为1），要求：分解成的单位分数数量越少越好，若是数量同样，最小的那个单位分数越大越好。

如：

　　19/45 = 1/3 + 1/12 + 1/180;

　　19/45 = 1/5 + 1/6 + 1/18;

　　以上两种分解方法都要3个单位分数，但下面一个的最小单位分数1/18比上一个1/180大，因此第二个更优。

思路：

　　虽然是求最优解，但这道明显不是广搜吧（空间要求过高），并且很明显是用深搜作，即从1~无穷，每个分母，都有选中和不选中两种状态，若是选中，那么就减去这个分数，没有就是跳过，但无穷究竟是哪里呢，并且具体要选几个呢，这就是这道题的难点。由于多组答案的优先级是由单位分数的个数首先决定，那么咱们能够逐次放宽个数的限制，即迭代加深搜索。

　　迭代加深搜索的具体内容：第一次，我限制只能用k个单位分数来完成，若是找完全部状况，仍是没找到解，那么我如今用k+1个单位分数解决，这样优势以下：

　　1. 确定保证最优解，由于我用k个来完成分解就说明比k小的个数分解不出来，若是分解得出来，我在那时就退出循环了。

　　2. 虽然看似重复进行了不少遍的搜索，但上一层的搜索量和下一层比起来太少了，不影响总的时间复杂度。

抛开逐步解开个数限制外，每个个数限制下的作法和日常的深刻优先搜索大体相同，要注意剪枝！

主要的两个剪枝以下：

　　1. 限制开头：并非每次都要从1开始遍历分母，假设如今要分解a/b，那么分母b/a就是起点，由于b/a的分数太大，起始点已经超过了a/b，没有什么意义：1/(b/a)=a/b ，假设起点s<b/a，那么显而易见，起点的分数已经比咱们要的总和（a/b）大了。

　　2. 限制结尾：

　　　　（1）比较简单的限制结尾能够这样看：若是我已经找到分母k了，而如今要分解得分数是a/b，如今还要找m个单位分数，那么能够想象：有可能 m * ( 1/k ) 还小于a/b，也就是说就算全是1/k，我凑够m个，也达不到a/b，那么说明前面的分配方案确定有无，直接能够return了。加上这个剪枝已经能够获得答案了，只是时间有点慢罢了。

　　　　（2）如今咱们假设终点为t，还要找m个单位分数，如今的分数剩下a/b，那么很容易有m * (1/t) <= a / b  ，也就是说我若是m个都用最小的，确定小于等于a/b。（等于号就是说有可能m=1，我可能直接终点就是答案，若是m>1，那么终点确定也不可能选到，假设选了（后面还要选（m-1）个，确定凑不够）这样子，由上面的式子，通过变换，能够获得 t >= m*b/a ，也就是说终点为m*b/a。

有了思路代码仍是很容易的：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<stdlib.h>
 4 
 5 int gcd(int a,int b)
 6 {
 7   return b?gcd(b,a%b):a;
 8 }
 9 
10 int ans[1000],ao;
11 int out[1000],oo;
12 
13 void dfs(int limit,int h,int ma,int mb)
14 {
15   if(h==limit) return ;
16   if(mb%ma==0 && mb/ma>ans[ao-1] && ( oo<=0 || mb/ma < out[oo-1] ))
17   {
18     ans[ao++]=mb/ma;
19     oo=ao;
20     memcpy(out,ans,sizeof(ans));
21     ao--;
22     return ;
23   }
24   int i=mb/ma-1;
25   if(i<=ans[ao-1]) i=ans[ao-1]; //ans[ao-1]就是前面找过的最后一个，这前面的都处理过（选中or不选中）
26   int j=(limit-h)*mb/ma;
27   while(++i<=j)
28   {
29     if(oo>0&&i>=out[oo-1]) return ;
30     int g=gcd(i,mb);
31     int k=i/g;
32     //if(ma*i/mb+h>limit) return ;
33     int x=mb*k;
34     int y=ma*k-mb/g;
35     if(y<0) continue;
36     ans[ao++]=i;
37     if(y==0)
38     {
39       oo=ao;
40       memcpy(out,ans,sizeof(ans));
41       ao--;
42       return ;
43     }
44     dfs(limit,h+1,y,x);
45     ao--;
46   }
47 }
48 
49 int main()
50 {
51   int a,b;
52   while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
53   {
54     ao=0;
55     oo=0;
56     for(int i=1;i<100;i++)
57     {
58       //printf("%d\n",i);
59       dfs(i,0,a,b);
60       if(oo>0) break;
61     }
62     for(int i=0;i<oo;i++)
63     {
64       if(i!=0) printf(" ");
65       printf("%d",out[i]);
66     }
67     printf("\n");
68   }
69   return 0;
70 }

AC代码