LeetCode Binary Search Summary 二分搜索法小结

 

二分查找法做为一种常见的查找方法，将本来是线性时间提高到了对数时间范围，大大缩短了搜索时间，具备很大的应用场景，而在 LeetCode 中，要运用二分搜索法来解的题目也有不少，可是实际上二分查找法的查找目标有不少种，并且在细节写法也有一些变化。以前有网友留言但愿博主能针对二分查找法的具体写法作个总结，博主因为以前一直很忙，一直拖着没写，为了树立博主言出必行的正面形象，不能再无限制的拖下去了，那么今天就来作个了断吧，总结写起来~ (如下内容均为博主本身的总结，并不权威，权当参考，欢迎各位大神们留言讨论指正)

根据查找的目标不一样，博主将二分查找法主要分为如下五类：

 

第一类： 需查找和目标值彻底相等的数

这是最简单的一类，也是咱们最开始学二分查找法须要解决的问题，好比咱们有数组 [2, 4, 5, 6, 9]，target = 6，那么咱们能够写出二分查找法的代码以下：

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return -1;
}

 

会返回3，也就是 target 的在数组中的位置。注意二分查找法的写法并不惟一，主要能够变更地方有四处：

第一处是 right 的初始化，能够写成 nums.size() 或者 nums.size() - 1。

第二处是 left 和 right 的关系，能够写成 left < right 或者 left <= right。

第三处是更新 right 的赋值，能够写成 right = mid 或者 right = mid - 1。

第四处是最后返回值，能够返回 left，right，或 right - 1。

可是这些不一样的写法并不能随机的组合，像博主的那种写法，若 right 初始化为了 nums.size()，那么就必须用 left < right，而最后的 right 的赋值必须用 right = mid。可是若是咱们 right 初始化为 nums.size() - 1，那么就必须用 left <= right，而且right的赋值要写成 right = mid - 1，否则就会出错。因此博主的建议是选择一套本身喜欢的写法，而且记住，实在不行就带简单的例子来一步一步执行，肯定正确的写法也行。

第一类应用实例：

Intersection of Two Arrays

 

第二类： 查找第一个不小于目标值的数，可变形为查找最后一个小于目标值的数

这是比较常见的一类，由于咱们要查找的目标值不必定会在数组中出现，也有多是跟目标值相等的数在数组中并不惟一，而是有多个，那么这种状况下 nums[mid] == target 这条判断语句就没有必要存在。好比在数组 [2, 4, 5, 6, 9] 中查找数字3，就会返回数字4的位置；在数组 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找数字1，就会返回第一个数字1的位置。咱们可使用以下代码：

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

 

最后咱们须要返回的位置就是 right 指针指向的地方。在 C++ 的 STL 中有专门的查找第一个不小于目标值的数的函数 lower_bound，在博主的解法中也会时不时的用到这个函数。可是若是面试的时候人家不让使用内置函数，那么咱们只能老老实实写上面这段二分查找的函数。

这一类能够轻松的变形为查找最后一个小于目标值的数，怎么变呢。咱们已经找到了第一个不小于目标值的数，那么再往前退一位，返回 right - 1，就是最后一个小于目标值的数。

第二类应用实例：

Heaters ， Arranging Coins ， Valid Perfect Square ， Max Sum of Rectangle No Larger Than K ， Russian Doll Envelopes

 

第二类变形应用： Valid Triangle Number

 

第三类： 查找第一个大于目标值的数，可变形为查找最后一个不大于目标值的数

这一类也比较常见，尤为是查找第一个大于目标值的数，在 C++ 的 STL 也有专门的函数 upper_bound，这里跟上面的那种状况的写法上很类似，只须要添加一个等号，将以前的 nums[mid] < target 变成 nums[mid] <= target，就这一个小小的变化，其实直接就改变了搜索的方向，使得在数组中有不少跟目标值相同的数字存在的状况下，返回最后一个相同的数字的下一个位置。好比在数组 [2, 4, 5, 6, 9] 中查找数字3，仍是返回数字4的位置，这跟上面那查找方式返回的结果相同，由于数字4在此数组中既是第一个不小于目标值3的数，也是第一个大于目标值3的数，因此 make sense；在数组 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找数字1，就会返回坐标5，经过对比返回的坐标和数组的长度，咱们就知道是否存在这样一个大于目标值的数。参见下面的代码：

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

 

这一类能够轻松的变形为查找最后一个不大于目标值的数，怎么变呢。咱们已经找到了第一个大于目标值的数，那么再往前退一位，返回 right - 1，就是最后一个不大于目标值的数。好比在数组 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找数字1，就会返回最后一个数字1的位置4，这在有些状况下是须要这么作的。

第三类应用实例：

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

第三类变形应用示例：

Sqrt(x)

 

第四类： 用子函数看成判断关系（一般由 mid 计算得出）

这是最令博主头疼的一类，并且一般状况下都很难。由于这里在二分查找法重要的比较大小的地方使用到了子函数，并非以前三类中简单的数字大小的比较，好比 Split Array Largest Sum 那道题中的解法一，就是根据是否能分割数组来肯定下一步搜索的范围。相似的还有 Guess Number Higher or Lower 这道题，是根据给定函数 guess 的返回值状况来肯定搜索的范围。对于这类题目，博主也很无奈，遇到了只能自求多福了。

第四类应用实例：

Split Array Largest Sum， Guess Number Higher or Lower，Find K Closest Elements，Find K-th Smallest Pair Distance，Kth Smallest Number in Multiplication Table，Maximum Average Subarray II，Minimize Max Distance to Gas Station，Swim in Rising Water，Koko Eating Bananas，Nth Magical Number

 

第五类： 其余（一般 target 值不固定）

有些题目不属于上述的四类，可是仍是须要用到二分搜索法，好比这道 Find Peak Element，求的是数组的局部峰值。因为是求的峰值，须要跟相邻的数字比较，那么 target 就不是一个固定的值，并且这道题的必定要注意的是 right 的初始化，必定要是 nums.size() - 1，这是因为算出了 mid 后，nums[mid] 要和 nums[mid+1] 比较，若是 right 初始化为 nums.size() 的话，mid+1 可能会越界，从而不能找到正确的值，同时 while 循环的终止条件必须是 left < right，不能有等号。

相似的还有一道 H-Index II，这道题的 target 也不是一个固定值，而是 len-mid，这就很意思了，跟上面的 nums[mid+1] 有殊途同归之妙，target 值都随着 mid 值的变化而变化，这里的right的初始化，必定要是 nums.size() - 1，而 while 循环的终止条件必须是 left <= right，这里又必需要有等号，是否是很头大 -.-!!!

其实仔细分析的话，能够发现其实这跟第四类仍是比较类似，类似点是都很难 -.-!!!，第四类中虽然是用子函数来判断关系，但大部分时候 mid 也会做为一个参数带入子函数进行计算，这样实际上最终算出的值仍是受 mid 的影响，可是 right 却能够初始化为数组长度，循环条件也能够不带等号，你们能够对比区别一下～

第五类应用实例：

Find Peak Element

H-Index II

 

综上所述，博主大体将二分搜索法的应用场景分红了主要这五类，其中第二类和第三类还有各自的扩展。根据目前博主的经验来看，第二类和第三类的应用场景最多，也是最重要的两类。第一类，第四类，和第五类较少，其中第一类最简单，第四类和第五类最难，遇到这类，博主也没啥好建议，多多练习吧～

 

若是有写的有遗漏或者错误的地方，请你们踊跃留言啊，共同进步哈～

 

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