几率论中常见分布总结以及python的scipy库使用

时间 2019-11-06

标签几率常见分布总结以及 python scipy 使用栏目 Python 繁體版

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几率论中常见分布总结以及python的scipy库使用：两点分布、二项分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布html

几率分布有两种类型：离散（discrete）几率分布和连续（continuous）几率分布。python

离散几率分布也称为几率质量函数（probability mass function）。离散几率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和几何分布（geometric distribution）等。函数

连续几率分布也称为几率密度函数（probability density function），它们是具备连续取值（例如一条实线上的值）的函数。正态分布（normal distribution）、指数分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都属于连续几率分布。spa

一、两点分布（伯努利分布）code

伯努利试验：orm

伯努利试验是在一样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。htm

即只先进行一次伯努利试验，该事件发生的几率为p，不发生的几率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。blog

最多见的例子为抛硬币事件

其中，ip

指望E = p

方差D = p*(1-p)^2+(1-p)*(0-p)^2 = p*(1-p)

二、二项分布（n重伯努利分布）（X~B(n,p））

即作n个两点分布的实验

其中，

E = np

D = np(1-p)

对于二项分布，能够参考https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.binom.html

二项分布的应用场景主要是，对于已知次数n，关心发生k次成功。

，即为二项分布公式可求。

对于抛硬币的问题，作100次实验，观察其几率分布函数：

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.stats import binom
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
fig,ax = plt.subplots(1,1)
n = 100
p = 0.5

#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print (mean,var,skew,kurt)

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(binom.ppf(0.01, n, p),binom.ppf(0.99, n, p))
ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p),'o')

plt.title(u'二项分布几率质量函数')
plt.show()

　首先导入库函数以及设置对中文的支持

观察几率分布图，能够看到，对于n = 100次实验中，有50次成功的几率（正面向上）的几率最大。

三、几何分布（X ～ GE(p)）

在n次伯努利实验中，第k次实验才获得第一次成功的几率分布。其中：P(k) = (1-p)^(k-1)*p

E = 1/p 推到方法就是利用利用错位相减法而后求lim - k ->无穷

D = (1-p)/p^2 推到方法利用了D(x) = E(x)^2-E(x^2)，其中E(x^2)求解同上

几何分布能够参考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.geom.html#scipy.stats.geom

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.stats import geom
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
fig,ax = plt.subplots(1,1)
p = 0.5

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = geom.stats(p,moments='mvsk')

print (mean,var,skew,kurt)

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。

x = np.arange(geom.ppf(0.01, p),geom.ppf(0.99, p))

ax.plot(x, geom.pmf(x, p),'o')

plt.title(u'几何分布几率质量函数')

plt.show()

所以，能够看到，对于抛硬币问题，抛个两三次就能成功。

四、泊松分布（X~P(λ)）

描述单位时间/面积内，随机事件发生的次数。P(x = k) = λ^k/k!*e^(-λ) k = 0,1,2, ... λ >0

泊松分布可做为二项分布的极限而获得。通常的说，若，其中n很大，p很小，于是不太大时，X的分布接近于泊松分布。

λ：单位时间/面积下，随机事件的平均发生率

E = λ

D = λ

譬如：某一服务设施必定时间内到达的人数、一个月内机器损坏的次数等。

假设某地区，一年中发生枪击案的平均次数为2。

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.stats import poisson
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

fig,ax = plt.subplots(1,1)
mu = 2
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = poisson.stats(mu,moments='mvsk')
print (mean,var,skew,kurt)
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu),poisson.ppf(0.99, mu))
ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu),'o')
plt.title(u'poisson分布几率质量函数')
plt.show()

所以，一年内的枪击案发生次数的分布如上所示。

与二项分布对比：

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.stats import binom
from scipy.stats import poisson
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

fig,ax = plt.subplots(1,1)
n = 100
p = 0.1

#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print (mean,var,skew,kurt)
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(binom.ppf(0.01, n, p),binom.ppf(0.99, n, p))
p1, = ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p),'b*',label = 'binom')

mu = n * p
# 平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean, var, skew, kurt = poisson.stats(mu, moments='mvsk')
print (mean,var,skew,kurt)
# ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu), poisson.ppf(0.99, mu))
p2, = ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu), 'ro', label='poisson')

plt.legend(handles=[p1, p2])
plt.title(u'对比')
plt.show()

五、均匀分布（X~U(a,b)）

对于随机变量x的几率密度函数：

则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布。

E = 0.5（a+b）

D = （b-a）^2 / 12

均匀分布在天然状况下极为罕见，而人工栽培的有必定株行距的植物群落便是均匀分布。这代表X落在[a,b]的子区间内的几率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，所以X落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。

落在某一点的几率都是相同的

若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间，则

P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)

这代表X落在[a,b]的子区间内的几率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关。

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.stats import uniform
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

fig, ax = plt.subplots(1, 1)

loc = 1
scale = 1

# 平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean, var, skew, kurt = uniform.stats(loc, scale, moments='mvsk')
print (mean,var,skew,kurt)

# ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(uniform.ppf(0.01, loc, scale), uniform.ppf(0.99, loc, scale), 100)
ax.plot(x, uniform.pdf(x, loc, scale), 'b-', label='uniform')

plt.title(u'均匀分布几率密度函数')
plt.show()

六、指数分布X~ E（λ）

E = 1/λ

D = 1/λ^2

fig,ax = plt.subplots(1,1)

lambdaUse = 2

loc = 0

scale = 1.0/lambdaUse

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = expon.stats(loc,scale,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。

x = np.linspace(expon.ppf(0.01,loc,scale),expon.ppf(0.99,loc,scale),100)

ax.plot(x, expon.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'expon')

plt.title(u'指数分布几率密度函数')

plt.show()

指数分布一般用来表示随机事件发生的时间间隔，其中lambda和poisson分布的是一个概念（我认为），不知道为何知乎上：https://www.zhihu.com/question/24796044，他们为啥说这俩不同呢？我以为这两种分布的指望确定不同啊，一个描述发生次数，一个描述两次的时间间隔，互为倒数也是应该的啊。

指数分布经常使用来表示旅客进机场的时间间隔、电子产品的寿命分布（须要高稳定的产品，现实中要考虑老化的问题）

指数分布的特性：无记忆性

好比灯泡的使用寿命服从指数分布，不管他已经使用多长一段时间，假设为s，只要尚未损坏，它能再使用一段时间t 的几率与一件新产品使用时间t 的几率同样。

这个证实过程简单表示：

P(s+t| s) = P(s+t , s)/P(s) = F（s+t）/F（s）=P(t)

七、正态分布（X~N(μ，σ^2)）

E = μ

D = σ^2

正态分布是比较常见的，譬如学生考试成绩的人数分布等

fig,ax = plt.subplots(1,1)

loc = 1

scale = 2.0

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = norm.stats(loc,scale,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。

x = np.linspace(norm.ppf(0.01,loc,scale),norm.ppf(0.99,loc,scale),100)

ax.plot(x, norm.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'norm')

plt.title(u'正太分布几率密度函数')

plt.show()

补充：

大数定理：

随着样本的增长，样本的平均数将接近于整体的平均数，故推断中，通常会使用样本平均数估计整体平均数。

大数定律讲的是样本均值收敛到整体均值

中心极限定理：

独立同分布的事件，具备相同的指望和方差，则事件服从中心极限定理。他表示了对于抽取样本，n足够大的时候，样本分布符合x~N(μ,σ^2)

中心极限定理告诉咱们，当样本量足够大时，样本均值的分布慢慢变成正态分布