求这个期望,无非就是要求一个贡献。而这个贡献就是任意间隔大于二的两个数字的乘积,然后统计它们的出现次数。
对于两个位置i和j,满足j>i+1,现在考虑如何计算这个会出现的次数。我们令j-i-1=k,要做到会有wi*wj这个贡献,意味着从i和j中间k个乒乓球必须比第i和j个乒乓球先拿走。这个方案数我们这么考虑,首先着k个乒乓球可以任意排列,然后i和j两个放在它们后面,之后剩下n-k-2个乒乓球插入着k+2个乒乓球中,方案数就是k!*2*(k+3)*(k+4)*...*n。也即方案数是:
那么我们再枚举这个i和j,则期望式子的分子可以写成:
我们令k=j-i,那么有:
交换一下求和次序:
如果我们令g(k)=1/((k-1)*k),那么这个期望式子的分子就可以写成卷积的形式:
我们对于右边那个sigma用NTT优化,然后最后O(N)的求和就可以算出期望的分子,总的复杂度O(NlogN)。最后再除以分母n!即可。具体见代码:
#include<bits/stdc++.h> #define file(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout) #define IO ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0); #define mod 998244353 #define LL long long #define N 550010 using namespace std; int inv[N],fac[N],ifac[N]; int c[N],d[N],a[N],n,ans; int qpow(int a,int b) { int ans=1; while(b) { if(b&1)ans=(LL)ans*a%mod; a=(LL)a*a%mod; b>>=1; } return ans; } namespace NTT { #define g 3 int x[N<<2],y[N<<2],wn[N<<2]; void init() { for(int i=0;i<21;i++) { int t=1<<i; wn[i]=qpow(g,(mod-1)/t); } } void brc(int *F,int len) { int j=len/2; for(int i=1;i<len-1;i++) { if(i<j)swap(F[i],F[j]); int k=len/2; while(j>=k) j-=k,k>>=1; if(j<k)j+=k; } } void NTT(int *F,int len,int t) { int id=0; brc(F,len); for(int h=2;h<=len;h<<=1) { id++; for(int j=0;j<len;j+=h) { int E=1; for(int k=j;k<j+h/2;k++) { int u=F[k],v=(LL)E*F[k+h/2]%mod; F[k]=(u+v)%mod,F[k+h/2]=((u-v)%mod+mod)%mod; E=(LL)E*wn[id]%mod; } } } if(t==-1) { for(int i=1;i<len/2;i++)swap(F[i],F[len-i]); LL inv=qpow(len,mod-2); for(int i=0;i<len;i++)F[i]=(LL)F[i]%mod*inv%mod; } } void multiply(int *a,int len1,int *b,int len2) { int len=1; while(len<len1+len2)len<<=1; for (int i = len1; i < len; i++) a[i] = 0; for (int i = len2; i < len; i++) b[i] = 0; NTT(a,len,1); NTT(b,len,1); for(int i=0;i<len;i++) a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod; NTT(a,len,-1); } } void init() { fac[0]=ifac[0]=inv[0]=1; fac[1]=ifac[1]=inv[1]=1; for(int i=2;i<N;i++) { fac[i]=fac[i-1]*(LL)i%mod; inv[i]=(mod-mod/i)*(LL)inv[mod%i]%mod; ifac[i]=ifac[i-1]*(LL)inv[i]%mod; } } int main() { IO; init(); cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; int len=1;while(len<n*2+10) len<<=1; for(int i=1;i<=len;i++) c[i]=d[i]=0; for(int i=2;i<=n-1;i++) c[i]=(LL)inv[i]*inv[i+1]%mod; for(int i=2;i<=n-1;i++) d[n-i]=a[n-i]; NTT::init(); NTT::multiply(c,len,d,len); for(int i=3;i<=n;i++) ans=(ans+(LL)c[i]*a[i]%mod)%mod; cout<<(LL)ans*2%mod<<endl; return 0; }